王　珍

數(shù)學(xué)競(jìng)賽,有一道題:“慶元旦布置班級(jí),小紅把16盞彩燈平均掛成4行,每行掛5盞,可以怎樣掛?(畫出圖)”全班竟沒有一個(gè)人做對(duì),事后我做了了解,原來是學(xué)生對(duì)題目要求的畫圖解決感到納悶,不知如何下手,這一現(xiàn)象引起了我的思考和探究的興趣。

上世紀(jì)90年代,美國學(xué)者進(jìn)行中美小學(xué)數(shù)學(xué)教育比較研究,出過這樣一道測(cè)試題:兒童分蛋糕。7個(gè)女孩平分2個(gè),3個(gè)男孩平分1個(gè)糕。每個(gè)女孩分得多還是每個(gè)男孩分得多?每種方法可以用數(shù)字或圖形來解釋。我國被試的孩子有90%用比較分?jǐn)?shù)2/7與1/3大小的方法來解釋,而美國用這種方法的僅有21%;被試的美國孩子有57%利用圖形解釋,而我國只有6%。其中有一種結(jié)合圖形解釋,非常巧妙:如果女孩只有6個(gè),那么每個(gè)女孩與每個(gè)男孩分得一樣多,但女孩有7個(gè),所以每個(gè)女孩比每個(gè)男孩分得少。在這樣的數(shù)學(xué)思考中,很自然地應(yīng)用了“對(duì)應(yīng)”的數(shù)學(xué)思想。

看來,我們的學(xué)生確實(shí)不善于用圖形語言學(xué)習(xí)、思考、表達(dá)與交流數(shù)學(xué)。圖形是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的對(duì)象,也是數(shù)學(xué)交流的工具。尤其在兒童數(shù)學(xué)教育的啟蒙階段,圖形語言的地位與作用舉足輕重,是不可替代的。

如下圖形語言(□代表雞,○代表鴨)相應(yīng)的:

文字語言是“5比大3?！被蛘摺?比5小?！?/p>

符號(hào)語言是“5>3,讀作:5大于3。”或者“3<5,讀作:3小于5?！?/p>

由此可見,描述數(shù)學(xué)事實(shí)、概念或關(guān)系時(shí),圖形語言的描述為文字語言或符號(hào)語言的描述提供了直觀表象,也為理解和掌握相關(guān)的文字語言與符號(hào)語言的意義和內(nèi)涵奠定認(rèn)知基礎(chǔ)。

再如,與如下圖形語言(△代表猴,○代表鴨)相應(yīng)的:

文字語言是“鴨的只數(shù)是猴的2倍。”符號(hào)語言是“6÷3=2?！?/p>

用圖形語言描述現(xiàn)實(shí)情境的數(shù)量關(guān)系,是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的一次抽象;符號(hào)語言是借助圖形語言的直觀對(duì)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的再一次抽象;而文字語言能夠明確界定圖形語言或符號(hào)語言所描述的數(shù)學(xué)對(duì)象的意義與內(nèi)涵。

圖形語言是發(fā)展學(xué)生抽象思維,理解和把握符號(hào)語言的扶梯。如果學(xué)生不能理解符號(hào)語言,進(jìn)行抽象思維的時(shí)候,最好的選擇是回到圖形,甚至回到更具體的操作。

對(duì)于一個(gè)數(shù)的幾倍是多少,幾乎所有的學(xué)生都會(huì)很快反應(yīng)是用乘法。新接一個(gè)班,發(fā)現(xiàn)一位新生對(duì)于這部分的知識(shí)反映就是不靈敏,似乎對(duì)這部分知識(shí)的認(rèn)知在她腦中形成一個(gè)盲點(diǎn),于是在邊與她的補(bǔ)課及全班的復(fù)習(xí)回顧中,發(fā)現(xiàn)其實(shí)不少同學(xué)是知其然而不知其所以然。

比如讓學(xué)生完成:紅花朵數(shù)(8朵)是黃花(2朵)的幾倍?請(qǐng)用畫圖和列式兩種方法解答。一位學(xué)生走上黑板畫了如下的圖形并列出算式如下:

8÷2=4

答:紅花朵數(shù)是黃花的4倍。

顯然,上述的圖解是錯(cuò)誤的。正確的圖解是:

圖解不對(duì),列式正確。這是什么原因呢?看來這個(gè)學(xué)生并沒有真正理解“倍”的含義,但他卻從形式上記住了“求幾倍”的算法。事實(shí)上,不少學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)都帶有這種機(jī)械學(xué)習(xí)和形式主義的特征。這是我們老師要幫助他們努力克服的。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不能靠生搬硬套、死記硬背;能否自如地從一種語言轉(zhuǎn)換為另一種語言進(jìn)行數(shù)學(xué)描述,能否用圖形語言解釋文字語言或符號(hào)語言,是理解數(shù)學(xué)的試金石。

在這以后我在新授這部分知識(shí)時(shí),重視圖形語言的幫助理解,然后慢慢過度到文字語言。比如學(xué)習(xí)“求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍”,先是讓學(xué)生通過操作理解“求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍”

第一個(gè)問題,要知道小貓的只數(shù)是小狗的幾倍,先想什么?(用弧線表示)

第二個(gè)問題:小狗跑來2只,這時(shí)小貓的只數(shù)是小狗的幾倍?為什么?

第三個(gè)問題,小狗跑走3只,這時(shí)小貓的只數(shù)是小狗的幾倍?為什么?

第四個(gè)問題:小狗全部跑走,這時(shí)說小貓的只數(shù)是4倍,對(duì)嗎?為什么?

圖形語言的內(nèi)涵是豐富的,同一個(gè)圖形可能有不同的解釋,表征不同的意義。請(qǐng)看下面的圖形(○代表蘋果):

這個(gè)圖形可以解釋為8個(gè)蘋果放在4個(gè)盤子里,平均每個(gè)盤子放2個(gè);也可以解釋為每個(gè)盤子放2個(gè)蘋果,8個(gè)蘋果可以放4盤。這兩種都是“平均分”。按前一種解釋,列的算式是8÷4=2(個(gè));后一種解釋,算式是8÷2=4(盤)。

圖形語言也有它明顯的局限性,它受時(shí)空的制約。比如問題是“100是2的幾倍?”就不好用圖解的方法來解答了,這時(shí)列出算式計(jì)算就顯得便捷。只有掌握符號(hào)語言才能彌補(bǔ)和超越圖形語言的局限性,才能自由地馳騁于數(shù)學(xué)王國。但是切不可因此而輕視圖形語言賦與人的想象力和創(chuàng)造性,何況它還是掌握符號(hào)語言,發(fā)展抽象思維不可逾越的途徑。所以數(shù)學(xué)教師自身首先要加強(qiáng)圖形語言意識(shí),并在教學(xué)中引導(dǎo)和鼓勵(lì),才能使學(xué)生善于用圖形語言思考、表達(dá)與交流數(shù)學(xué)。

作者單位:廈門外國語學(xué)校海滄附屬學(xué)校