王　林

如何理解和把握教材，需要探討和研究的方面較多。本文主要就本次專(zhuān)欄所涉及的面積、分?jǐn)?shù)和方程的定義談?wù)勛约旱目捶ā?/p>

小學(xué)數(shù)學(xué)中的許多概念，在小學(xué)不能定義或不宜定義，大多數(shù)是通過(guò)描述性的方式和用“屬+種差”的方式定義的。對(duì)于面積，大綱教材是這樣描述性定義的：物體的表面或圍成的平面圖形的大小，叫做它們的面積。現(xiàn)在，教材沒(méi)有給出定義，而是結(jié)合教室這一學(xué)生非常熟悉的實(shí)例，按照“物體有面——每個(gè)面都有大小——面的大小是面積”這樣的線(xiàn)索教學(xué)面積的意義。讓學(xué)生先通過(guò)“看”黑板表面、課本封面體會(huì)物體有面，“比”黑板面與課本封面哪一個(gè)大哪一個(gè)小，體會(huì)各個(gè)物體的面都有確定的大小，“想”什么是課本封面的面積感知面積的含義；再通過(guò)“摸”課桌面和椅子面，直接感知這些面的客觀(guān)存在，并感受這些面各自的大小，擴(kuò)大概念外延，進(jìn)一步體會(huì)面積的意義。接著，讓學(xué)生自己舉例表達(dá)物體表面的面積，并比較它們的大小，反饋?zhàn)约簩?duì)面積的初步認(rèn)識(shí)，并在更大的范圍里體會(huì)，看到的物體都有面，每個(gè)面都有確定的大小，面的大小就是這個(gè)面的面積，從而形成初步的面積概念。在學(xué)生已經(jīng)知道物體表面的大小是面積之后，學(xué)習(xí)平面圖形的大小也是面積，從而全面理解面積的意義。教材通過(guò)比較一個(gè)正方形和一個(gè)長(zhǎng)方形面積的大小，讓學(xué)生討論什么是這兩個(gè)圖形的面積，引導(dǎo)他們的認(rèn)知遷移，從物體表面的大小是面積類(lèi)推出平面圖形的大小也是面積。教材雖然沒(méi)有對(duì)面積下概括的定義，但是學(xué)生結(jié)合實(shí)例，在多個(gè)活動(dòng)中體驗(yàn)、感悟、體會(huì)面積的意義，在表象的層面上充分認(rèn)識(shí)了面積。大綱教材中的定義，也只是對(duì)面積的描述，不是嚴(yán)格的定義。在嚴(yán)格的面積定義里并不出現(xiàn)“大小”的詞語(yǔ)。先要定義了面積，才能有面積的大小。實(shí)際上，不僅平面圖形有面積，球面(立體圖形)也有面積。但是，對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)，面積的嚴(yán)格定義并不重要，重要的是通過(guò)數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)知道面積與長(zhǎng)度一樣是刻畫(huà)圖形大小的度量，知道面積的真正含義，建立面積的表象，會(huì)求一些幾何圖形的面積。

分?jǐn)?shù)是一個(gè)內(nèi)涵豐富的數(shù)學(xué)概念，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中占有重要地位。小學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)，主要有正整數(shù)和正分?jǐn)?shù)(小數(shù)是特殊的分?jǐn)?shù))，在正整數(shù)集中添加正分?jǐn)?shù)，組成非負(fù)有理數(shù)集，是數(shù)的概念的重要擴(kuò)充。在正整數(shù)集中，兩個(gè)整數(shù)相除，有時(shí)不能得到整數(shù)商，為了使除法運(yùn)算總可以施行(除數(shù)不能是0)，就需要引進(jìn)分?jǐn)?shù)。在小學(xué)，一般將分?jǐn)?shù)直觀(guān)地定義為：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)。這是關(guān)于分?jǐn)?shù)的份數(shù)定義，是描述性的。實(shí)際上，分?jǐn)?shù)除了份數(shù)的定義，還有商的定義和比的定義。在數(shù)學(xué)理論中，分?jǐn)?shù)一般采用商的定義：兩個(gè)整數(shù)m、n(n≠0)，m除以n的商m/n叫做分?jǐn)?shù)。即是說(shuō)，分?jǐn)?shù)是一個(gè)商，m除以n除得盡時(shí)是一個(gè)整數(shù)，除不盡時(shí)就是一個(gè)分?jǐn)?shù)。由于兩個(gè)數(shù)相除又叫做兩個(gè)數(shù)的比，于是就有了分?jǐn)?shù)的比的定義：兩個(gè)整數(shù)m、n(n≠0)，m比n即m/n叫做分?jǐn)?shù)。六年級(jí)教材上說(shuō)，兩個(gè)數(shù)的比表示兩個(gè)數(shù)相除，兩個(gè)數(shù)的比也可以寫(xiě)成分?jǐn)?shù)形式。學(xué)習(xí)了比之后，分?jǐn)?shù)就可以擴(kuò)大應(yīng)用范圍。我們知道了分?jǐn)?shù)的這三個(gè)定義，可以更清楚地看出比的基本性質(zhì)、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)和整數(shù)除法商不變的性質(zhì)內(nèi)在的同一關(guān)系。由于分?jǐn)?shù)與整數(shù)有較大的差異，學(xué)生掌握分?jǐn)?shù)概念比較困難，小學(xué)數(shù)學(xué)教材對(duì)此一般分為三個(gè)階段教學(xué)。第一階段，三年級(jí)直觀(guān)感性認(rèn)識(shí)階段，充分借助直觀(guān)手段，只作具體描述，如1/2是分?jǐn)?shù)3/4是分?jǐn)?shù)，不概括出描述性的定義。學(xué)生通過(guò)三上的學(xué)習(xí)明白把一個(gè)物體、圖形平均分成若干份，其中一份或幾份，是這個(gè)物體、圖形的幾分之一或幾分之幾：通過(guò)三下的學(xué)習(xí)明白把由若干個(gè)同類(lèi)物體組成的一個(gè)整體平均分成幾份，用幾分之一或幾分之幾這樣的分?jǐn)?shù)表示這個(gè)整體里的一份或幾份，并應(yīng)用對(duì)分?jǐn)?shù)的初步理解。用整數(shù)計(jì)算的方法解決求由若干個(gè)同類(lèi)物體組成的一個(gè)整體的幾分之一或幾分之幾是多少個(gè)物體的實(shí)際問(wèn)題。從一個(gè)物體、圖形的幾分之一到若干個(gè)同類(lèi)物體組成的一個(gè)整體的幾分之一，是認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的一次發(fā)展。學(xué)生儲(chǔ)存了豐富的分?jǐn)?shù)表象，到五年級(jí)認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的意義，理解單位“1”，不僅減少了學(xué)習(xí)困難，而且更有利于他們?cè)谪S富表象的基礎(chǔ)上抽象概括，比較牢固地掌握分?jǐn)?shù)的有關(guān)知識(shí)。學(xué)生到五年級(jí)整體認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)，深入理解分?jǐn)?shù)的份數(shù)定義，再通過(guò)兩次分餅的數(shù)學(xué)活動(dòng)認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，不僅用語(yǔ)言講述和用數(shù)量關(guān)系式表示，還寫(xiě)成字母組成的等式，建立新的知識(shí)結(jié)構(gòu)，實(shí)際理解分?jǐn)?shù)的商的定義。到了六年級(jí)再學(xué)習(xí)比，體會(huì)比在生活中的應(yīng)用，實(shí)際理解分?jǐn)?shù)的比的定義，擴(kuò)大分?jǐn)?shù)的應(yīng)用范圍。這就使學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的過(guò)程循序漸進(jìn)，有效而扎實(shí)。

對(duì)于方程，大綱教材是用“屬+種差”的方式定義的：含有未知數(shù)的等式叫做方程。與被定義概念鄰近的屬是“等式”，種差是“含有未知數(shù)”。方程是等式里的一類(lèi)特殊對(duì)象，“含有未知數(shù)”與“等式”是方程意義的兩點(diǎn)最重要的內(nèi)涵，“含有未知數(shù)”也是方程區(qū)別于其他等式的關(guān)鍵特征?，F(xiàn)行教材按“等式+含有未知數(shù)一方程”的線(xiàn)索，結(jié)合具體情境，讓學(xué)生通過(guò)觀(guān)察天平平衡與不平衡的生活現(xiàn)象，幫助學(xué)生理解等式的含義，了解等式與方程的關(guān)系，概括出：像x+50=150、2x=200這樣含有未知數(shù)的等式是方程。與大綱教材相比，特別增加了“像x+50=150、2x=200”這樣的限定，一是因?yàn)閷?shí)際上函數(shù)也是含有未知數(shù)的等式，增加限定后更具有科學(xué)性；二是可以避免類(lèi)似于“x=6是不是方程”等一些過(guò)于形式化問(wèn)題的過(guò)分關(guān)注與爭(zhēng)論。方程用等號(hào)將相互等價(jià)的兩件事情聯(lián)立，等號(hào)的左右兩邊等價(jià)，比較全面地展示了建模思想。教學(xué)方程就是要抓住從等式的關(guān)系求未知數(shù)這一重點(diǎn)，通過(guò)列方程的教學(xué)讓學(xué)生初步體會(huì)建模思想。通過(guò)解方程的教學(xué)讓學(xué)生初步體會(huì)化歸(轉(zhuǎn)化)思想。教材要求小學(xué)生學(xué)習(xí)運(yùn)用等式的性質(zhì)解方程，就十分有利于學(xué)生體會(huì)化歸(轉(zhuǎn)化)思想。

從面積、分?jǐn)?shù)和方程的定義的分析，可以反映出蘇教版教材對(duì)概念、法則、規(guī)律等呈現(xiàn)的大致特點(diǎn)，我們教學(xué)時(shí)應(yīng)引起足夠的重視。

1、既有整體觀(guān)念，又注意階段性。教材依據(jù)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，比較合理地編排了各冊(cè)的教學(xué)內(nèi)容，要按照教學(xué)進(jìn)度和學(xué)生的認(rèn)知水平進(jìn)行教學(xué)，不隨意提前教學(xué)后續(xù)的內(nèi)容，不去輕易地拔高教學(xué)要求。分?jǐn)?shù)的意義比較抽象，在三年級(jí)學(xué)生初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)時(shí)，一定要把握好螺旋上升的度，貼近學(xué)生的認(rèn)知水平，借助現(xiàn)實(shí)的情境和直觀(guān)的圖形，通過(guò)具體操作，使學(xué)生逐步獲得對(duì)分?jǐn)?shù)的感性認(rèn)識(shí)，建立分?jǐn)?shù)的表象，而不能脫離直觀(guān)。同樣的道理，乘、除法的口算，課程標(biāo)準(zhǔn)要求學(xué)生能口算百以?xún)?nèi)的一位數(shù)乘、除兩位數(shù)，教學(xué)時(shí)就不要再提出兩位數(shù)除以?xún)晌粩?shù)的口算要求。二年級(jí)下學(xué)期學(xué)習(xí)口算不進(jìn)位的一位數(shù)乘兩位數(shù)，就不要提出進(jìn)位的一位數(shù)乘兩位數(shù)的口算要求，避免加重學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。

2、要注重實(shí)質(zhì)，適當(dāng)?shù)问健?shù)學(xué)教材在注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)的同時(shí)，對(duì)一些定義、筆算法則等適當(dāng)?shù)氐诵问?。這是為了講求實(shí)效，使學(xué)生更好地掌握整個(gè)知識(shí)，真正理解概念，體會(huì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)。從這個(gè)意義上說(shuō)，適當(dāng)?shù)摹暗笔菫榱苏嬲摹皬?qiáng)化”。什么是乘法?求兩個(gè)數(shù)的積的運(yùn)算叫做乘法。但是，為了便于小學(xué)生理解，在小學(xué)通常把乘法說(shuō)成是“求幾個(gè)相同加數(shù)的和的簡(jiǎn)便運(yùn)算”，現(xiàn)在“3個(gè)5相加”不再規(guī)定哪一個(gè)數(shù)做乘數(shù)，哪一個(gè)數(shù)做被乘數(shù)，就不應(yīng)再要求學(xué)生把3個(gè)5相加只能寫(xiě)作5×3，而不能寫(xiě)作3×5，也不要過(guò)多地去要求學(xué)生說(shuō)“3個(gè)5相加用5×3表示”這些形式化的語(yǔ)言。整數(shù)乘、除法的筆算法則，學(xué)生理解了算理，在已有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上合作交流，發(fā)現(xiàn)、歸納并總結(jié)出計(jì)算方法，能懂得法則的幾條具體內(nèi)容，按照法則比較熟練地筆算就可以了。教材沒(méi)有用文字集中呈現(xiàn)計(jì)算法則，更沒(méi)有用黑體字突出，我們?cè)诮虒W(xué)中就不需要將文字?jǐn)⑹龅墓P算法則讓學(xué)生抄錄背誦，也不需要對(duì)此進(jìn)行默寫(xiě)或者填空考查。對(duì)于運(yùn)算律的安排與教學(xué)，同樣如此。

3、要加強(qiáng)概念特別是基本概念的教學(xué)。數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識(shí)的細(xì)胞，是學(xué)習(xí)和運(yùn)用一切數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)。小學(xué)階段所涉及的概念都是非?；竞椭匾?，不重視概念教學(xué)的現(xiàn)象當(dāng)前比較普遍，應(yīng)當(dāng)切實(shí)糾正。概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)中必須抓好的重要一環(huán)，我們每一位數(shù)學(xué)教師和教研員，都必須重視和加強(qiáng)概念教學(xué)及其研究，努力改進(jìn)概念教學(xué)。三年級(jí)小學(xué)生從學(xué)習(xí)長(zhǎng)度到學(xué)習(xí)面積，是空間形式認(rèn)識(shí)發(fā)展上的一次飛躍。以前面積和面積單位安排在一課時(shí)內(nèi)教學(xué)，學(xué)生在一課時(shí)里既學(xué)習(xí)面積的意義，又認(rèn)識(shí)三個(gè)面積單位，時(shí)間緊、任務(wù)重，對(duì)面積、面積單位概念的形成過(guò)程經(jīng)歷不夠、體驗(yàn)不深，效果往往得不到保證?，F(xiàn)行教材把面積與面積單位這兩個(gè)對(duì)后繼學(xué)習(xí)有著深遠(yuǎn)影響的概念分成兩課時(shí)教學(xué)，目的就是讓學(xué)生在第一次學(xué)習(xí)時(shí)。有足夠的時(shí)間經(jīng)歷概念的形成過(guò)程，達(dá)到教學(xué)的扎實(shí)有效。運(yùn)算律是小學(xué)數(shù)學(xué)中最基礎(chǔ)的知識(shí)之一，教材緊密聯(lián)系學(xué)生的生活實(shí)際，引導(dǎo)他們利用已經(jīng)掌握的知識(shí)獨(dú)立解答，再通過(guò)舉例發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從用符號(hào)表示過(guò)渡到用含有字母的式子表示這些規(guī)律，使得運(yùn)算律的表達(dá)更加準(zhǔn)確、簡(jiǎn)明、形象。這既便于學(xué)生加深體驗(yàn)，有利于他們掌握運(yùn)算律，又能發(fā)展學(xué)生的符號(hào)感。