李宏嚴(yán)

數(shù)學(xué)直覺思維就是大腦對數(shù)字及其結(jié)構(gòu)關(guān)系的一種迅速的判斷與敏銳的想象。伊恩·斯圖加特曾說過：“直覺是真正的數(shù)學(xué)家賴以生存的東西?！痹S多重大的發(fā)現(xiàn)都是基于直覺。歐幾里得幾何學(xué)的五個(gè)公設(shè)都是基于直覺，從而建立起歐幾里得幾何學(xué)這棟“輝煌的大廈”；哈密頓在散步的路上進(jìn)發(fā)了構(gòu)造四元素的火花；阿基米德在浴室里找到了辨別王冠真假的方法；凱庫勒發(fā)現(xiàn)苯分子環(huán)狀結(jié)構(gòu)更是一個(gè)直覺思維的成功典范。

由此可見，直覺是一種深層次的心理活動，沒有具體的直觀形象和可操作的邏輯順序作思考的背景。法國科學(xué)院院士狄多涅認(rèn)為：任何水平的數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目的，無疑是使學(xué)生對他們要處理的數(shù)學(xué)對象有一個(gè)可靠的“直覺”。一個(gè)人的數(shù)學(xué)思維，判斷能力的高低主要取決于直覺思維能力的高低。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中要善于創(chuàng)造條件、捕捉時(shí)機(jī)，培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維。

一、“四基”是產(chǎn)生直覺的前提

直覺思維是基于對該領(lǐng)域的基礎(chǔ)知識及其結(jié)構(gòu)的了解，正是這一點(diǎn)才迫使一個(gè)人能以飛躍、迅速越級知識和放過個(gè)別細(xì)節(jié)的方式進(jìn)行直覺思維。高度的直覺來源于豐富的學(xué)識和經(jīng)驗(yàn)。它不只是個(gè)別天才所特有的，而是一種基本的思維方式。扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能、豐富的數(shù)學(xué)基本思想和基本活動經(jīng)驗(yàn)是產(chǎn)生直覺的前提。其實(shí)，數(shù)學(xué)直覺思維是對抽象的數(shù)學(xué)對象的一種直接領(lǐng)悟和洞察，并非簡單地對具體事物的感性直觀，是在一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)知識積累過程中形成的一種思維能力。它是可以培養(yǎng)和不斷提高的。正如徐利治教授所說：“數(shù)學(xué)直覺是可以后天培養(yǎng)的，實(shí)際上每個(gè)人的數(shù)學(xué)直覺也是不斷提高的?！?/p>

如，在學(xué)完一元二次方程的解法后，筆者曾讓學(xué)生做了這樣一道題：已知a²+3n+1=0，b²+3b+1=0，求a6的值。

大部分學(xué)生都嘗試解這兩個(gè)一元二次方程，試圖分別求出a、b后再求ab的值，結(jié)果卻花了很多時(shí)間還是一無所獲。但是，卻有一個(gè)學(xué)生對一元二次方程的根的定義理解較深刻并且掌握較好，憑直覺立刻將a、b看成方程x²+3x+1=0的兩根，由韋達(dá)定理很快得出ab=1。

二、在猜測中培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維

牛頓說：“沒有大膽的猜想就不會有偉大的發(fā)現(xiàn)。”數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中的課程目標(biāo)也提到：要培養(yǎng)學(xué)生的猜測能力、發(fā)展初步的合情推理能力，讓學(xué)生經(jīng)歷對問題的預(yù)測過程。因此，在數(shù)學(xué)課堂上，應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生憑直覺大膽猜想、預(yù)測。為此，就要求教師轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，把主動權(quán)還給學(xué)生。對于學(xué)生的大膽設(shè)想要給予充分肯定，對其合理成分及時(shí)給予鼓勵(lì)，愛護(hù)、扶植學(xué)生的自發(fā)性直覺思維，避免挫傷學(xué)生直覺思維的積極性和學(xué)生直覺思維的悟性。教師應(yīng)及時(shí)因勢利導(dǎo)，解除學(xué)生心中的疑惑，使學(xué)生對自己的直覺產(chǎn)生成功的喜悅感。

實(shí)際上，在數(shù)學(xué)教學(xué)中有很多讓學(xué)生猜想的機(jī)會。例如，每學(xué)完一個(gè)新知識，可以讓學(xué)生猜測下一步將會學(xué)什么。有的學(xué)生學(xué)習(xí)了有理數(shù)后會猜測到以后可能會學(xué)習(xí)無理數(shù)；學(xué)習(xí)了整式，會猜想以后將會學(xué)分式；有的學(xué)生學(xué)習(xí)了三角形的面積公式后，就能猜測到將要學(xué)習(xí)平行四邊形、梯形的面積公式；學(xué)習(xí)了一元一次方程，就猜測將學(xué)習(xí)一元二次方程、二元一次方程。這些猜測和預(yù)感讓他們對未來的學(xué)習(xí)內(nèi)容平添了許多興趣和期盼。而在概念的教學(xué)中，教師可先提出概念名稱，由學(xué)生就字面意思進(jìn)行猜測，再進(jìn)一步教學(xué)。例如，在“等腰三角形”的教學(xué)中，筆者就讓學(xué)生就字面意思猜測其含義，學(xué)生也能猜個(gè)八九不離十，并在猜測的過程中各抒己見，活躍了課堂氣氛，也激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。一條定理或是一道題的解法，都可以鼓勵(lì)他們猜想，猜錯(cuò)了則引導(dǎo)他們尋找原因。這樣有利于激發(fā)他們的直覺思維，并使直覺思維從表層、低層向深層、高層發(fā)展。例如，在初中平面幾何三角形中位線定理(三角形中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半。)的證明中，給出圖形，在理解中位線概念之后，可以讓學(xué)生猜想中位線與第三邊的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系。一般說來，學(xué)生依照直覺都能做出正確的猜想，根據(jù)猜想的結(jié)果指引論證的方法。通過這個(gè)過程，肯定了學(xué)生自己思維的角度與方式，極大地增強(qiáng)他們直覺思維的積極性。其實(shí)像這樣依靠直覺猜想的結(jié)論來指引解題的方法，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中也是一種常用手段。教學(xué)中若教師只是按部就班地講授教學(xué)內(nèi)容，無暇讓學(xué)生對一些問題進(jìn)行猜想或是無暇對學(xué)生的猜想進(jìn)行評析、論證，或是對錯(cuò)誤的猜想采取簡單的否定，這些做法都不利于培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維，相反，還會扼殺學(xué)生的直覺思維。

三、在具體情境中培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維

在教學(xué)中要重視問題情境的創(chuàng)設(shè)，它不僅可以使學(xué)生容易掌握數(shù)學(xué)知識和技能，還可以提高學(xué)生各方面的能力，當(dāng)然也包含直覺思維能力。恰到好處的問題情境可以使學(xué)生憑直覺去發(fā)現(xiàn)問題，更好地體驗(yàn)數(shù)學(xué)內(nèi)容的生動、有趣并富有現(xiàn)實(shí)意義的特點(diǎn)。例如：在上《生活中的軸對稱》這一節(jié)內(nèi)容時(shí)，筆者并沒有直接引入課題，而是先制作了多媒體課件，向?qū)W生展示了很多精美的對稱的圖片，有世界上有名的建筑，有美麗的山水圖，還有一些生活中常見的東西。讓學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)這些圖片的共同點(diǎn)，引發(fā)了學(xué)生的極大興趣，然后才提出問題：我們這節(jié)課的內(nèi)容就與這些圖片中所表現(xiàn)出的共同的特點(diǎn)有關(guān)，你能猜出來嗎?很多學(xué)生幾乎是馬上答出：對稱，然后才引導(dǎo)學(xué)生去觀察。引入了課題后，在后面軸對稱的有關(guān)概念的學(xué)習(xí)中，學(xué)生始終興致盎然，很快掌握了有關(guān)的知識。筆者接著提出：我們生活中還有很多軸對稱圖形，也學(xué)過很多軸對稱圖形。全班同學(xué)爭先恐后地列舉起來，并說出了自己的理由，就連后面要學(xué)的線段、等腰三角形的有關(guān)性質(zhì)，也開始探討起來。這樣使學(xué)生的觀察能力得到了培養(yǎng)。心理學(xué)家指出：觀察是一種高級的知覺形式，其最可貴的品質(zhì)是從平常的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)不平常的東西，從表象能看到本質(zhì)，從表面上貌似無關(guān)的東西中發(fā)現(xiàn)相似點(diǎn)或是某種關(guān)系。因此強(qiáng)的觀察力往往能促發(fā)直覺思維(如關(guān)聯(lián)直覺或辨?zhèn)沃庇X)，而且有利于形成深層的直覺思維。

四、在開放性練習(xí)中培養(yǎng)直覺思維

無意識的直覺思維之所以能產(chǎn)生“奇妙”的思想，其根本原因在于這種思維活動不受任何有意識的思維所必然具有的條條框框的束縛，從而就可以最自由地作出各種可能的組合或是必要的選擇。因此數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生盡量從多角度對數(shù)學(xué)對象進(jìn)行分析和思考，培養(yǎng)發(fā)散思維、逆向思維，讓思維變得有活力，有更強(qiáng)的靈活度，才可能形成并增強(qiáng)直覺思維。要鼓勵(lì)學(xué)生盡量從多角度對數(shù)學(xué)對象進(jìn)行分析和思考，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和逆向思維，教學(xué)中就要有意識地設(shè)計(jì)一些條件不足或多余，沒有確定的結(jié)論或結(jié)論不唯一，解決問題的策略、思路多種多樣等開放性題目給學(xué)生訓(xùn)練。在解決問題訓(xùn)練時(shí)，也盡可能設(shè)計(jì)一些與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系緊密又有多種解決辦法的題目。如：某糧庫原定8小時(shí)運(yùn)送糧食320噸，現(xiàn)在任務(wù)增加到480噸。該怎么辦?由于沒有規(guī)定解決問題的具體方式，學(xué)生可以自由地發(fā)散思維，根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行假想，從而找到解決問題的多種辦法?！吨袊嗄陥?bào)》也曾報(bào)道：“約30％的初中生學(xué)習(xí)了平面幾何推理之后，喪失了對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣”。長期以來，教師由于把證明過程過分地嚴(yán)格化、程序化，學(xué)生只是見到一具僵硬的邏輯外殼，直覺的光環(huán)被掩蓋住了，而把成功往往歸功于邏輯的功勞，對自己的直覺反而感覺不到。學(xué)生的內(nèi)在潛能沒有被激發(fā)出來，學(xué)習(xí)的興趣沒有被調(diào)動起來，得不到思維的真正樂趣。還是龐加萊說得好：邏輯思維用于論證，直覺用于發(fā)明，直覺無處不在，直覺為人們打開發(fā)現(xiàn)真理的大門。

責(zé)任編輯：羅艷