程永勝,張明亮

(河南大學數(shù)學與信息科學學院,河南開封 475001)

Heisenberg-Virasoro代數(shù)的q-形變的量子群結(jié)構(gòu)

程永勝,張明亮

(河南大學數(shù)學與信息科學學院,河南開封 475001)

構(gòu)造了水平為零的扭的Heisenberg-Virasoro代數(shù)的一個q-形變Hvirq,證明它是一個quasi-hom-李代數(shù).給出該代數(shù)的一個非平凡的量子群結(jié)構(gòu),即它是一個非交換且余交換的Hopf代數(shù).

量子群;q-形變Heisenberg-Virasoro代數(shù);Hopf代數(shù)

1 引言

量子群是在二十世紀八十年代由俄羅斯數(shù)學家Drinfeld和日本數(shù)學家Jimbo各自獨立發(fā)現(xiàn)[1],之后它成為數(shù)學家和物理學家研究的熱門課題.究其原因在于該學科與量子Yang-Baxter方程密切相關(guān),而該方程在共形場論、量子可積系統(tǒng)等研究領(lǐng)域有著非常重要的應(yīng)用[2].量子群不是群,它是一個非交換且余交換的Hopf代數(shù).

近年來出現(xiàn)了不少有關(guān)李代數(shù)的q-形變的文章[36].所謂李代數(shù)的q-形變就是通過對李代數(shù)的結(jié)構(gòu)常數(shù)加一個或者多個參數(shù)使之廣義化,當這些參數(shù)趨于1時,李代數(shù)的q-形變就回到李代數(shù)的情形.一般地,李代數(shù)的性質(zhì)在它的q-形變中還會保持.

有關(guān)Virasoro的q-形變的文章很多,關(guān)于Heisenberg代數(shù)的q-形變的文章也出現(xiàn)過[35].然而有關(guān)Heisenberg-Virasoro代數(shù)的q-形變及其相應(yīng)的量子群結(jié)構(gòu)的存在性問題是一個非常有趣的問題,這個問題的解決或許對物理學家很有用.之前第一作者和蘇育才教授曾經(jīng)給出了Heisenberg-Virasoro代數(shù)的q-形變的一種實現(xiàn),并給出其相應(yīng)的量子群結(jié)構(gòu),本文我們將構(gòu)造出Heisenberg-Virasoro代數(shù)的q-形變的另外一種實現(xiàn)并給出其相應(yīng)的量子群結(jié)構(gòu),這種實現(xiàn)及構(gòu)造完全不同前者[78].

本文組織如下:第2節(jié)先回憶李代數(shù)的q-形變的一般定義,然后給出Heisenberg-Virasoro代數(shù)的q-形變.第3節(jié)給出一個與Heisenberg-Virasoro代數(shù)的q-形變的相應(yīng)的非平凡的量子群結(jié)構(gòu).

2 Heisenberg-Virasoro代數(shù)的q-形變

首先回憶一下李代數(shù)的定義.對于復(fù)數(shù)域C上的向量空間V,定義一個扭映射τ如下

則一個李代數(shù)(V,?)是由一個向量空間V和一個雙線性映射?:V?V→V(被稱為V的括積)組成,并且滿足下面兩個條件

其中1表示V?V中的恒等映射,τ12=τ?1,τ23=1?τ.

現(xiàn)在考慮更廣泛的情況.將上面的李代數(shù)的定義的反對稱性和Jacobi恒等式推廣.

定義1[6]一個quasi-hom-李代數(shù)由一個三元組(L,φ,ω)組成,其中向量空間L,雙線性映射φ:L?L→L(被稱為L的括積)及映射ω:L×L→LC(L)滿足下面的條件

其中(z,x),(x,y),(y,z)∈L?L,LC(L)表示向量空間L上的所有C-線性映射的全體.

從定義可以看出,quasi-hom-李代數(shù)是一種廣義的李代數(shù),它包括李代數(shù),李超代數(shù),ε-李代數(shù)及著色李代數(shù)等.例如,當ω=?id時就是李代數(shù)的情況.

水平為零的扭的Heisenberg-Virasoro代數(shù)Hvir最先由文[9]引進,扭的Heisenberg-Virasoro代數(shù)是定義在圓上的次數(shù)至多為1的微分算子李代數(shù)的泛中心擴張

它有一個無限維Heisenberg子代數(shù)和一個Virasoro子代數(shù),Virasoro子代數(shù)在Heisenberg子代數(shù)上的作用是一個2-上循環(huán)的自然作用[1013].水平為零的扭的Heisenberg-Virasoro代數(shù)Hvir有基CL,CLI,CI,Ln,In(n∈Z)及下面李運算:

由以上推理可得

定理1若向量空間Hvirq有生成元Ln,In(n∈Z),CL,CI,CLI及下面的乘法運算,即(5),(7),(20),(6),(8)和(21)式,則Hvirq依照映射(9)構(gòu)成一個quasi-hom李代數(shù).

我們稱Hvirq是Heisenberg-Virasoro代數(shù)的一個q-形變.

3 q-形變Heisenberg-Virasoro代數(shù)的量子群結(jié)構(gòu)

[1]Drinfeld V G.Hamlitonian structures on Lie group,Lie algebras and the geometric meaning of classical Yang-Baxter equations[J].Soviet.Math.Dokl.,1983,27(1):68-71.

[2]Drinfeld V G.Hopf algebras and the quantum Yang-baxter equation[J].Soviet.Math.Dokl.,1985,32:254-258.

[3]Hartwig J T,Larsson D,Silvestrov S D.Deformations of Lie algebras using σ-derivation[J].J.Algebra, 2006,295:314-361.

[4]Kassel C.Cyclic homology of differential operators,the Virasoro algebra and a q-analogue[J].Comm.Math. Phys.,1992,146:343-351.

[5]Mansour M,Tahri E H.A q-deformation of Virasoro and U(1)Kac-Moody algebras with Hopf structure[J]. Modern Phys.letters,1999,14:733-743.

[6]Larsson D,Silvestrov S D.Quasi-hom-Lie algebras,central extensions and 2-cocycle-like identities[J].J. Algebra,2005,288:321-344.

[7]Hu N.Quantum group structure of the q-deformed Virasoro algebra[J].Lett.Math.Phys.,1998,44(2):99-103.

[8]Delius D W,Gould M D.Quantum Lie algebras,their existence,uniqueness and q-antisymmetry[J].Comm. Math.Phys.,1997,185:709-722.

[9]Arbarello E,Concini C,Kac V G,et al.Moduli spaces of curves and representation theory[J].Comm.Math. Phys.,1998,117:1-36.

[10]Shen R,Jiang C.Derivation algebra and automorphism group of the twisted Heisenberg-Virasoro algebra[J]. Comm.Algebra,2006,34:2547-2558.

[11]Billig Y.Respresentations of the twisted Heisenberg-Virasoro algebra at level zero[J].Canad.Math. Bulletin,2003,46:529-537.

[12]Su Y.Classification of quasifinite modules over the Lie algebras of Weyl type[J].Adv.Math.,2003,174:57-68.

[13]楊聞起.BCI-代數(shù)的擬伴隨代數(shù)及應(yīng)用[J].純粹數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學,2006,22(2):178-181.

Quantum group structure of the q-Heisenberg-Virasoro algebra

CHENG Yong-sheng,ZHANG Ming-liang
(School of Mathematics and Information Science,Henan University,Kaifeng475001,China)

In this paper,the authors introduce the q-deformed Heisenberg-Virasoro algebra Hvirq,and prove that it is a quasi-hom Lie algebra.In the following,the authors construct its nontrivial quantum group structure, which is a noncommutative and cocommutative Hopf algebra.

Quantum group,q-Heisenberg-Virasoro algebra,Hopf algebra

O152

A

1008-5513(2009)04-0695-06

2008-05-12.

國家自然科學基金(10825101),中國博士后科學基金(20090450810).

程永勝(1973-),博士,研究方向：李代數(shù).

2000MSC:17B37,17B62