陳乃輝

(中央財經(jīng)大學應用數(shù)學學院,北京 100081)

半?yún)?shù)回歸模型獨立情形的分離法估計

陳乃輝

(中央財經(jīng)大學應用數(shù)學學院,北京 100081)

對半?yún)?shù)回歸模型,用L2最佳逼近加矩估計的方法,推出其非參數(shù)部分的依L2與強相合聯(lián)合收斂意義下的估計,及參數(shù)部分的強相合與相合漸近正態(tài)估計,并設計實行了一個模擬實驗.

半?yún)?shù)回歸模型;隨機函數(shù)逼近;矩估計;相合漸近正態(tài)性

1 引言

上世紀八十年代由Engle等[1]提出了如下的半?yún)?shù)回歸模型(以回歸函數(shù)的形式表現(xiàn))

對此國內外學者多有很好的研究[26],其中的思想方法,是采用兩階段的想法相繼將半?yún)?shù)回歸模型化為非參數(shù)回歸模型與參數(shù)回歸模型分別予以解決,于后一階段一般運用最小二乘方法,而于前一階段有各種不同的手法,如核估計法[2],最近鄰估計法[3]與小波估計法[4,6]等.

本文研究半?yún)?shù)回歸模型(1.1)在X與(Z1,···,Zd)相互獨立的情形,采用分離方法對其估計,即將模型的非參數(shù)部分與參數(shù)部分的估計完全分開而互不干涉地進行,而后合為對半?yún)?shù)回歸函數(shù)的L2收斂強相合估計.該文的其它特點有:(a)各定理的題設條件比較簡明、自然;(b)非參數(shù)部分的估計是全局性的解析函數(shù);(c)所及光滑參數(shù)為多項式的次數(shù),它的確定原則為在樣本容量足以支撐的前提下盡量取大,這相較于窗寬、懲罰系數(shù)、節(jié)點等光滑參數(shù)要簡易.

本文的敘述分6節(jié).第1節(jié)為該文內容、思想概述及有關定義,第2節(jié)為回歸函數(shù)的非參數(shù)部分與參數(shù)部分估計途徑的分離,第3、4節(jié)為分別對非參數(shù)部分與參數(shù)部分的估計,第5節(jié)最終給出整個回歸函數(shù)的估計,其是在L2與強相合之聯(lián)合意義下收斂的,第6節(jié)為佐證該文的理論結果,設計實行了一個模擬實驗.

本文用到如下定義.

定義1.1設實隨機變量X,Y∈L2(?,F,P)[7],記

定義1.2若(R,B(R),L)為概率空間,x∈R,?δ＞0成立

則稱x為測度L的增長點.

定義1.3作矩陣的簡約記法為

2 非參數(shù)部分與參數(shù)部分估計途徑的分離

定理2.1若Y,X,Z1,···,Zd,W為概率空間(?,F,P)上的實隨機變量,Y關于X,Z1,···,Zd的回歸函數(shù)及Y關于X,Z1,···,Zd,W的函數(shù)分別為

3 非參數(shù)部分的估計

定理3.1若題設同定理2.1,且由X誘導出的測度PX有無窮多個增長點,xn∈L2(R,B(R), PX)(n∈N),PX還滿足下列三個條件之一:

(A)代數(shù)多項式全體在L2(R,B(R),PX)中稠密;

(B)存在有限區(qū)間[a,b]?R,使PX{[a,b]}=1;

(C)對Lebesgue測度的密度函數(shù)ρ(x)滿足存在常數(shù)C＞0,使ρ(x)≤Ce?x2(x∈R),另記

4 參數(shù)部分的估計

5 回歸函數(shù)的估計

6 模擬實驗

表1 參數(shù)估計對比

在(Z1,Z2,Z3)分別取值(0.5,1,0.2),(?4,50,12.8)時,它們關于X的函數(shù)圖象的對比圖(不帶星號線為被估計函數(shù),帶星號線為估計函數(shù))分別為圖a,圖b.如是結果,可以作為本文理論的佐證.

圖a圖像的對比圖

圖b圖像的對比圖

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On separated estimation for semiparametric regression model under independent case

CHEN Nai-hui

(School of Applied Mathematics,The Central University of Finance and Economics,Beijing100081,China)

By using method of best approximation moment estimate,the estimate of non-parameter section for semiparametric regression model is put out and its kind achieve the join of L2convergence and strong consistent, the estimate of parameter section for the model is put out and its kind achieve strong consistent and consistent asymptotic normality.Lastly,a analog experiment is designed and practised.

semiparametric regression model,random functional approximation,moment estimate,consistent asymptotic normality

O212

A

1008-5513(2009)04-0654-11

2008-11-11.

陳乃輝(1959-),副教授,研究方向：概率統(tǒng)計.

2000MSC:62G08,62G20,41A10