王堯,王德占

(1.南京信息工程大學(xué)數(shù)理學(xué)院,江蘇南京210044;2.遼寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)系,遼寧大連 116029)

IS-模與IS-環(huán)

王堯1,王德占2

(1.南京信息工程大學(xué)數(shù)理學(xué)院,江蘇南京210044;2.遼寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)系,遼寧大連 116029)

研究具有內(nèi)射基座的環(huán)的性質(zhì),引入了IS-模與IS-環(huán)的概念.證明了環(huán)R的優(yōu)擴(kuò)張S是IS-環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是IS-環(huán).

IS-模;IS-環(huán);優(yōu)擴(kuò)張

1 引言

Nicholson and Watters[1]對(duì)具有投射基座的環(huán)(PS-環(huán))進(jìn)行了研究,給出了一個(gè)環(huán)R是PS-環(huán)的一些等價(jià)條件;Liu Zhongkui[2]對(duì)具有平坦基座的環(huán)(FS-環(huán))做了一些探討,給出了一個(gè)環(huán)R是FS-環(huán)的一些等價(jià)條件.筆者受此兩篇論文的啟發(fā),對(duì)具有內(nèi)射基座的模(IS-模)與具有內(nèi)射基座的環(huán)(IS-環(huán))做了一些討論,定義了IS-模與IS-環(huán),給出了一個(gè)環(huán)R是IS-環(huán)的一些等價(jià)條件,證明了IS-環(huán)上的秩有限自由模是IS-模,環(huán)R的優(yōu)擴(kuò)張S是IS-環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是IS-環(huán).

本文中的環(huán)R都是含有單位元1的結(jié)合環(huán),模都是左R-酉模.另外用N≤M,NM分別表示N是M的子模和本質(zhì)子模.

2 IS-模

定義2.1稱左R-模M是左IS-模,如果M的基座Soc M是內(nèi)射左R-模;右IS-?？深愃频囟x.

例2.1若Soc M=0,則M是IS-模.

證明這是因?yàn)榱隳?是內(nèi)射R-模.

例2.2半單環(huán)R上的每一個(gè)R-模都是IS-模.

證明這是因?yàn)榘雴苇h(huán)R上的每一個(gè)R-模都是內(nèi)射R-模.

例2.3設(shè)R是QF-環(huán),則M是PS-模當(dāng)且僅當(dāng)M是IS-模.

證明由文[3]的命題31.1和文[1]的定義2.1知,M是PS-模當(dāng)且僅當(dāng)Soc M是投射R-模,當(dāng)且僅當(dāng)Soc M是內(nèi)射R-模,當(dāng)且僅當(dāng)M是IS-模.

命題2.1若M是IS-模,則Soc M是M的一個(gè)直和項(xiàng).

雖然內(nèi)射模的任意直積是內(nèi)射模,但由于任意直積的基座未必等于基座的直積,故推論2.1中的有限直積不能改為任意直積;又由于內(nèi)射模的任意直和未必是內(nèi)射模,故命題2.2中的有限直和也不能改為任意直和.但我們有

定理2.2設(shè)R是左Noether環(huán).若Mi,i∈I是IS-模,則⊕i∈IMi是IS-模.

證明由Mi,i∈I是IS-模,知Soc Mi,i∈I是內(nèi)射R-模,于是由文[3]命題18.13知Soc(⊕i∈IMi)=⊕i∈ISoc Mi是內(nèi)射R-模,從而⊕i∈IMi是IS-模.

定理2.3設(shè)R是左Artin環(huán),M是非零的左R-模.若M是IS-模,則M是不可分解的.

證明設(shè)M是左Artin環(huán)上的左R-模,則由文[3]推論15.21知Soc MM.但由命題2.1, Soc M是M的一個(gè)直和項(xiàng),于是存在M'≤M,使得M=Soc M⊕M',進(jìn)而Soc M∩M'=0.因此由本質(zhì)子模的定義,M'=0,于是Soc M=M,所以M的直和項(xiàng)只有M和0,故M是不可分解的.

定理2.4設(shè)M是非零的IS-模.若M是不可分解的,則M是半單的.

證明因M是IS-模,由命題2.1,Soc M是M的一個(gè)直和項(xiàng).但M是不可分解的,M的直和項(xiàng)只有M和0,于是Soc M=M或Soc M=0.但M/=0,從而Soc M/=0,進(jìn)而Soc M=M,故M是半單的.

3 IS-環(huán)

定義3.1稱環(huán)R是左IS-環(huán),如果RR是左IS-模;右IS-環(huán)可類似地定義.

例3.1半單環(huán)是IS-環(huán).

例3.2若環(huán)R既是QF-環(huán)又是PS-環(huán),則R也是IS-環(huán).

定理3.1設(shè)R是任意環(huán),則以下陳述等價(jià):

(1)R是左IS-環(huán);

(2)RR是左IS-模;

(3)SocRR是內(nèi)射左R-模;

(4)SocRR是左自內(nèi)射環(huán).

證明(1)?(2)定義3.1.

(2)?(3)定義2.1.

(3)?(4)由左自內(nèi)射環(huán)的定義即得(見(jiàn)文[3]第206頁(yè)習(xí)題1).

(4)?(1)由左自內(nèi)射環(huán)的定義,SocRR是內(nèi)射R-模,從而由左IS-環(huán)的定義,R是左IS-環(huán).

命題3.2設(shè)R是左IS-環(huán),則存在冪等元e∈R,使得SocRR=Re.

證明由左IS-環(huán)的定義,RR是左IS-模,從而由命題2.1,SocRR是正則模RR的一個(gè)直和項(xiàng),因此由文[3]命題7.1,存在冪等元e∈R,使得SocRR=Re.

命題3.3設(shè)R是非半單的左IS-環(huán),則SocRR是R的非本質(zhì)左理想.

證明由命題2.1知,SocRR是正則模RR的一個(gè)直和項(xiàng),從而存在左理想0/=L?R,使得R=SocRR⊕L,于是SocRR∩L=0.但R是非半單的,SocRR/=R,從而L/=0,故SocRRRR,亦即SocRR是R的非本質(zhì)左理想.

命題3.4若R是半單左IS-環(huán),則R是左自內(nèi)射環(huán).

證明設(shè)R是半單的,則R=SocRR是內(nèi)射R-模,從而由文[3]第206頁(yè)習(xí)題1,R是左自內(nèi)射環(huán).

命題3.5若R是交換的Noether環(huán),則以下條件等價(jià):

從而由定理3.1和引理3.1,S是左IS-環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)SocSS是內(nèi)射左S-模當(dāng)且僅當(dāng)SocSS是內(nèi)射左R-模當(dāng)且僅當(dāng)SocRR是內(nèi)射左R-模當(dāng)且僅當(dāng)R是左IS-環(huán).

推論3.1若G是有限群且?(G)?1∈R,則交叉積R?G是左IS-環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是左IS-環(huán).

證明由文[6],斜群環(huán)R?G是環(huán)R的優(yōu)擴(kuò)張,從而由定理3.2即得結(jié)論.

推論3.2環(huán)R是左IS-環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)矩陣環(huán)Mn(R)是左IS-環(huán).

證明由文[7],環(huán)Mn(R)是環(huán)R的優(yōu)擴(kuò)張,從而由定理3.2即得結(jié)論.

定理3.3左IS-環(huán)R上的每個(gè)秩有限的自由R-模是IS-模.

證明設(shè)M是秩有限自由R-模,則由文[8],存在有限集F,使得M⊕i∈FMi,其中Mi=RR.由文[3]命題9.8,易證得Soc MSoc(⊕i∈FMi),于是由文[3]命題9.19, Soc M～=Soc(⊕i∈FMi)=⊕i∈FSoc Mi是內(nèi)射R-模,故M是左IS-模.

定理3.4左Noether IS-環(huán)R上的任意自由R-模是IS-模.

證明設(shè)M是任意自由R-模,則由文[8],存在指標(biāo)集I,使得M～=⊕i∈IMi,其中Mi=RR.由文[3]命題9.8,易證得Soc M～=Soc(⊕i∈IMi),于是由文[3]命題9.19,Soc M～=Soc(⊕i∈IMi)=⊕i∈ISoc Mi.又R是左Noether環(huán),因而由文[3]命題18.13,⊕i∈ISoc Mi是內(nèi)射R-模,進(jìn)而M是IS-模.

[1]Nicholson W K,Watters J F.Rings with projective socle[J].Proc.Amer.Math.Soc.,1988,102(3):443-450.

[2]Liu Zhongkui.Rings with flat left socle[J].Comm.Algebra,1995,23(5):1645-1656.

[3]安德森K W,富勒爾K R.環(huán)與模范疇[M].王堯,任艷麗,譯.2版.北京:科學(xué)出版社,2008.

[4]Xue Weimin.On generalization of excellent extensions[J].Acta.Math.Vietnam,1994,9:31-38.

[5]Parmenter M M,Stewart P N.Excellent extensions[J].Comm.Algebra,1988,16(4):703-713.

[6]Passman D S.It’s essentially Maschke’s theorem[J].Rocky Mountain J.Math.,1983,13:37-54.

[7]Passman D S.The Algebraic Structure of Group Rings[M].New York:Wiley-Interscience,1977.

[8]Hungerford T W.Algebra[M].New York:Spring-Verlag,1974.

[9]董珺,劉仲奎.(I,K)-(m,n)-內(nèi)射環(huán)[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2007,23(4):565-570.

IS-modules and IS-rings

WANG Yao1,WANG De-zhan2

(1.College of Mathematics and Physics,Nanjing University of Information Science and Technology,Nanjing 210044,China;2.Department of Mathematics,Liaoning Normal University,Dalian116029,China)

In this paper,we investigate the properties of rings with injective socle,introduce the concepts of IS-module and IS-ring,and show that if S is an excellent extension of R,then S is a IS-ring if and only if R is a IS-ring.

IS-module,IS-ring,excellent extension

O153.3

A

1008-5513(2009)04-0686-04

2008-09-26.

江蘇省“333人才工程”基金.

王堯(1962-),博士,教授,研究方向：一般環(huán)論和代數(shù)表示論.

2000MSC:16W50