作者簡介：周海軍，男，出生于1973年9月，湖南省南縣人。1991年至1995年在天津市南開大學(xué)物理系學(xué)習(xí)；1995年至2000年在北京中國科學(xué)院理論物理研究所學(xué)習(xí)并獲理學(xué)博士學(xué)位；2000年至2005年在德國波茨坦市馬克斯普朗克膠體與界面研究所從事博士后研究。2004年11月,入選中國科學(xué)院百人計劃。現(xiàn)任中國科學(xué)院理論物理研究所研究員、博士生導(dǎo)師，主要從事統(tǒng)計物理研究。

為什么浮在靜止水面上的花粉會不停地漂移？為什么水會在100攝氏度沸騰變成蒸汽？為什么液氦在超低溫時不再具有粘性？這些疑問曾困惑著二十世紀(jì)初世界上一些最優(yōu)秀的大腦，但今天它們已經(jīng)不再是問題，因為統(tǒng)計物理學(xué)已經(jīng)給出了完備的答案。 作為現(xiàn)代理論物理的支柱之一，統(tǒng)計物理研究多體系統(tǒng)（包含極大數(shù)量的粒子或組成單元）的平衡和非平衡性質(zhì)，它希望能從系統(tǒng)內(nèi)部的微觀相互作用出發(fā)，通過定量計算理解和預(yù)言系統(tǒng)的宏觀性質(zhì)。 在一百年的時間內(nèi)，統(tǒng)計物理學(xué)家對簡單和近似全同粒子系統(tǒng)的平衡態(tài)性質(zhì)取得了非常大的研究進展。今天統(tǒng)計物理學(xué)更多關(guān)注的是無序和復(fù)雜系統(tǒng)的非平衡集體性質(zhì)。 這些系統(tǒng)包括玻璃系統(tǒng)、自旋玻璃系統(tǒng)、顆粒物質(zhì)等，也包括復(fù)雜生物和社會網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)、生態(tài)系統(tǒng)、金融博弈系統(tǒng)，甚至還包括計算機系統(tǒng)中的優(yōu)化問題、信息科學(xué)中的編碼解碼問題、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中的學(xué)習(xí)和決定過程等。

對無序復(fù)雜系統(tǒng)的研究給統(tǒng)計物理學(xué)帶來了很大的挑戰(zhàn)，同時也意味著新的機遇和突破。本文將介紹其中一小部分前沿問題，以期增進讀者對統(tǒng)計物理學(xué)新進展的了解。

一、玻璃系統(tǒng)、顆粒態(tài)物質(zhì)

玻璃態(tài)是一種常見但奇異的物態(tài)，它作為一種中間狀態(tài)處在液態(tài)與晶體態(tài)的邊界［1］。如果一種液體材料的溫度被快速冷卻到一個低溫水平，它常常會演化到玻璃態(tài)而不是變成晶體。 處于玻璃態(tài)的物質(zhì)除了同時具有液態(tài)與結(jié)晶態(tài)的一些物性之外還有一些特別之處，例如它表現(xiàn)的宏觀性質(zhì)很強烈地依賴于制備方式并且有很復(fù)雜的老化行為；例如它雖然整體上是靜止的，但在微觀以及很多個不同的介觀尺度上卻一直在演化。人們對玻璃態(tài)出現(xiàn)的物理機理目前還沒有一個完全清晰的了解。玻璃質(zhì)動力學(xué)以及玻璃相變是平衡和非平衡統(tǒng)計物理學(xué)一個非?；钴S的研究領(lǐng)域、而且這一系統(tǒng)與許多其它物理系統(tǒng)（如自旋玻璃、顆粒態(tài)物質(zhì)等）有內(nèi)在的深刻聯(lián)系。

液體在冷卻的過程中，由于分子的擴散與結(jié)構(gòu)重組變得越來越緩慢，它的粘滯系數(shù)會變得越來越大。 實驗發(fā)現(xiàn)，對有些液體材料而言存在一個比較大的溫度區(qū)域，在該區(qū)域內(nèi)體系的粘滯系數(shù)隨溫度降低而疾速增加：溫度可能才改變幾度但粘滯系數(shù)已經(jīng)上百倍地增加了！更細(xì)致的研究發(fā)現(xiàn)這種粘滯系數(shù)的強溫度依賴性又可以細(xì)分為兩大類，即對應(yīng)于“強”和“脆弱”玻璃態(tài)動力學(xué)過程。 這些表現(xiàn)出來的強或脆弱玻璃態(tài)動力學(xué)過程的微觀動力學(xué)機理是什么呢？對玻璃態(tài)動力學(xué)過程是否可以建立比較普遍的理論？更加基本的問題是：何謂玻璃相變？它是一種真正意義下的相變嗎？

對上述這些問題和其他相關(guān)問題在文獻中已經(jīng)有很多討論。現(xiàn)在有一種看法，認(rèn)為強的玻璃態(tài)動力學(xué)過程是由于分子在運動時受到的局部約束造成的［2］。這樣一個系統(tǒng)的平衡態(tài)性質(zhì)可能是很簡單的，在低溫時只存在一個晶體相。 但在從高溫快速冷卻的馳豫過程中，由于形成了運動學(xué)上的阻塞現(xiàn)象，系統(tǒng)沒法達到真正的自由能極小晶體態(tài)，而是一直處于一種無序的微觀上不停演化的狀態(tài)。 按照這種觀念，玻璃相變可以看成是一種類似于浸潤相變的阻塞相變過程。 它是否是一種真正的相變?nèi)Q于微觀動力學(xué)規(guī)則：在有的動力學(xué)系統(tǒng)中，系統(tǒng)在等待足夠長時間后一定會到達晶體態(tài)，而在另外一些動力學(xué)系統(tǒng)中，系統(tǒng)可能永遠(yuǎn)也不能到達晶體態(tài)。

另一方面，不少工作討論玻璃系統(tǒng)的平衡自由能圖景，如是否存在一類玻璃系統(tǒng)，具有非常復(fù)雜的（不依賴于動力學(xué)過程的）平衡自由能圖景呢？在這樣一個系統(tǒng)中，由于存在極大的自由能壁壘，體系在趨向平衡的過程中可能長時間地被困于一個又一個的自由能局域極小態(tài)，導(dǎo)致系統(tǒng)的宏觀演化非常緩慢并且表現(xiàn)出復(fù)雜的老化行為。這樣的實際系統(tǒng)如果存在，它的玻璃相變就可能有更多產(chǎn)生機制。

對玻璃系統(tǒng)的完全理解還需要非常多的工作。對玻璃態(tài)動力學(xué)過程和玻璃相變的定性和定量的描述也將促進整個非平衡統(tǒng)計物理學(xué)的發(fā)展。

顆粒態(tài)物質(zhì)體系是一類非平衡復(fù)雜體系。顆粒系統(tǒng)是由尺寸大于1微米的顆粒組成的宏觀體系。在這樣的體系中，熱運動和溫度對系統(tǒng)的性質(zhì)沒有多少影響，但系統(tǒng)在重力、顆粒之間的相互碰撞和摩擦力等因素的影響下有特別復(fù)雜的動力學(xué)自組織行為。 對顆粒系統(tǒng)的了解目前還比較有限，國內(nèi)有中科院物理研究所的陸坤權(quán)、厚美瑛、孫剛等研究組進行實驗和理論研究。關(guān)于顆粒態(tài)物質(zhì)系統(tǒng)的詳細(xì)介紹可以參看相關(guān)文獻［3］。

二、 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)是統(tǒng)計物理學(xué)一個新研究領(lǐng)域。1998年玏atts和Strogatz發(fā)表的有關(guān)“小世界”網(wǎng)絡(luò)的論文以及1999年Barabasi和Albert發(fā)表的有關(guān)“無標(biāo)度”網(wǎng)絡(luò)的論文在國際上引起了統(tǒng)計物理學(xué)工作者對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究的熱情［4］。十年以來，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)統(tǒng)計物理學(xué)已經(jīng)經(jīng)歷了一個快速成長期。在這一階段，許多工作都主要關(guān)心抽象網(wǎng)絡(luò)的統(tǒng)計物理性質(zhì)。 隨著這一領(lǐng)域研究走向成型、走向深入，新的突破更可能會來自于理論與實際系統(tǒng)的結(jié)合。 如何理解包括神經(jīng)系統(tǒng)在內(nèi)的復(fù)雜生物學(xué)系統(tǒng)的集體行為和穩(wěn)定性也許是面臨的最重要的挑戰(zhàn)。在此，我們僅簡單回顧近年來在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)、動力學(xué)以及演化方面的一小部分進展。要全面地了解國內(nèi)學(xué)者的工作，讀者可以參考郭雷和許曉鳴主編的《復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)》一書及其中的引文［5］。

（一）結(jié)構(gòu)

將一個復(fù)雜體系內(nèi)部的相互關(guān)系用一個網(wǎng)絡(luò)表示后，第一步是對這個網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)進行了解。 生物學(xué)系統(tǒng)中有基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)、蛋白質(zhì)相互作用網(wǎng)絡(luò)、新陳代謝網(wǎng)絡(luò)、神經(jīng)元連接網(wǎng)絡(luò)等；技術(shù)網(wǎng)絡(luò)有互聯(lián)網(wǎng)、計算機芯片電路網(wǎng)絡(luò)、大規(guī)模電網(wǎng)等；社會學(xué)網(wǎng)絡(luò)有萬維網(wǎng)、城市交通網(wǎng)絡(luò)、鐵路與飛機運輸網(wǎng)絡(luò)、社會交際網(wǎng)絡(luò)等。對大量的網(wǎng)絡(luò)進行統(tǒng)計分析，人們發(fā)現(xiàn)實際復(fù)雜體系所對應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)通常都非常不同于數(shù)學(xué)上的完全隨機網(wǎng)絡(luò)。實際網(wǎng)絡(luò)具有小世界性質(zhì)（網(wǎng)絡(luò)中存在許多短的回路和一些邊連接網(wǎng)絡(luò)的不同區(qū)域，這樣從網(wǎng)絡(luò)中的一個點到其它任意一個點的最短步數(shù)只有少數(shù)幾步）；同時，它們的頂點連通度沒有一個典型的標(biāo)度（給定一個遠(yuǎn)小于系統(tǒng)總頂點數(shù)的連通度k，總是可以找到一些頂點，它們的近鄰數(shù)目要超過k；更精確地說，網(wǎng)絡(luò)中頂點連通度的分布P(k)是k的冪次函數(shù)：P(k)~ 1/kγ）。

大部分實際復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)都具有大的群聚系數(shù)、短的平均最短路徑和接近冪次形式的度分布。此外，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的一個重要拓?fù)涮卣魇撬纳鐓^(qū)結(jié)構(gòu)。人們發(fā)展了許多給復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)劃分社區(qū)的方法：有的方法基于邊的介數(shù)，有的基于網(wǎng)絡(luò)中帶偏向的隨機行走或網(wǎng)絡(luò)中的短回路等。社區(qū)結(jié)構(gòu)的算法目前仍然是一個熱點的問題。 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)其它引起了廣泛關(guān)注的結(jié)構(gòu)特征量還包括網(wǎng)絡(luò)中相鄰頂點度數(shù)之間的關(guān)聯(lián)、頂點和邊的介數(shù)分布特征、頂點權(quán)重的分布特征等。

（二）動力學(xué)

網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如何影響網(wǎng)絡(luò)上的動力學(xué)過程，一直是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究的一個中心課題。現(xiàn)研究比較多的網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)過程有傳染病的傳播、網(wǎng)絡(luò)上的輸運動力學(xué)、網(wǎng)絡(luò)上的同步現(xiàn)象、觀念演化和博弈過程以及基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)的動力學(xué)穩(wěn)定性等。人們發(fā)現(xiàn)，網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對網(wǎng)絡(luò)上動力學(xué)過程有非常大的影響。 例如考慮一個網(wǎng)絡(luò)上的局部多數(shù)規(guī)則下的動力學(xué)過程：網(wǎng)絡(luò)上的每個頂點可能取兩種觀念中的一個，而一個頂點在每一個時刻都傾向于選擇它近鄰頂點中多數(shù)所持的狀態(tài)。 從一個初始的隨機狀態(tài)出發(fā)系統(tǒng)的狀態(tài)將向完全有序演化。 研究發(fā)現(xiàn)在完全隨機的網(wǎng)絡(luò)上，系統(tǒng)達到有序的特征時間正比于體系頂點數(shù)N的對數(shù)。在無標(biāo)度且標(biāo)度指數(shù)γ大于2.5的隨機網(wǎng)絡(luò)上，系統(tǒng)達到有序的特征時間也同樣正比于log(玁)。 然而在無標(biāo)度且標(biāo)度指數(shù)γ小于2.5的隨機網(wǎng)絡(luò)上，系統(tǒng)達到有序的特征時間與系統(tǒng)大小基本無關(guān)。在這樣的網(wǎng)絡(luò)上，如果大小為1000的一個網(wǎng)絡(luò)需要1.5步就能達到完全有序，當(dāng)頂點的數(shù)目增加100倍時，系統(tǒng)從無序標(biāo)到有序也只需要1.5步，甚至更少。

網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對網(wǎng)絡(luò)上動力學(xué)過程的影響，比如傳染病的傳播與控制。 在無標(biāo)度的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上，由于存在一些連通度很大的頂點，一種傳染病很容易通過先感染這些頂點而傳播到整個網(wǎng)絡(luò)。 人們討論了多種接種免疫手段來防止傳染病在網(wǎng)絡(luò)（如社會系統(tǒng)）中擴散，這些免疫手段都強調(diào)了對高連通度頂點的免疫或隔離。 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)對網(wǎng)絡(luò)上輸運（例如交通流）效率的影響在日常生活中經(jīng)常能體會到。 不同類型的網(wǎng)絡(luò)出現(xiàn)交通流的阻塞現(xiàn)象的臨界流密度有很大差異。網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)對網(wǎng)絡(luò)上的同步現(xiàn)象也有極大的影響。

通過對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上不同動力學(xué)過程的研究，人們認(rèn)識到一個給定的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)特點（例如冪次形式的連通度分布）可能對某些動力學(xué)過程而言是最優(yōu)或接近最優(yōu)的，但對另一些則可能是不適合的。 實際的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)常常需要應(yīng)對不同種類的動力學(xué)過程，它們結(jié)構(gòu)特征的形成可能是多種因素綜合作用的結(jié)果。 考慮到一個復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)可能要滿足的多種互相沖突的約束，為何占很大比例的實際復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)都選擇接近冪次形式的連通度分布呢？這一問題到目前為止還沒有一個非常令人滿意的解釋。

（三）網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)演化

對網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的演化進行理論與實驗研究可能是今后一段時間的一個重要議題。在前些年，人們?yōu)榱死斫鉄o標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的形成機制提出了一些網(wǎng)絡(luò)的生長模型。這些模型認(rèn)為在網(wǎng)絡(luò)生長過程中，新加入的頂點會有更高的比例與網(wǎng)絡(luò)中連通度較高的頂點建立聯(lián)系。這種網(wǎng)絡(luò)演化模型的演化規(guī)則是人為制定的。每一個復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的存在必定是與一些實際的功能和實際的動力學(xué)過程聯(lián)系在一起的。如何從動力學(xué)過程與網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)相互耦合的角度來理解網(wǎng)絡(luò)的演化與優(yōu)化？這方面的工作目前還沒有系統(tǒng)性，還不能概括出帶有普遍性的一些結(jié)論和觀點。

三、自旋玻璃理論及其應(yīng)用

自旋玻璃的概念以及第一個自旋玻璃模型是由獷dwards和Anderson于1975年提出來的。為了理解一類無序合金的熱容的低溫奇異性質(zhì)，Edwards和Anderson考慮一個處于d維(d=3,4,…)立方晶格上的無序自旋系統(tǒng)：每個晶格點上都有一個自旋，它可以取向上和向下兩種可能方向（σ=±1）；相鄰格點之間的相互作用有的是鐵磁性的（耦合常數(shù)J為正），有的則是反鐵磁性的（耦合常數(shù)J為負(fù)）。由于自旋相互作用耦合常數(shù)的無序性，在低溫時會出現(xiàn)一種阻錯現(xiàn)象：一個處于格點i的自旋，它的有些近鄰希望它的自旋向上，而它的其余近鄰卻希望它的自旋向下；這樣無論格點i的自旋是向下還是向上都不能使它的所有近鄰感到“滿意”。當(dāng)溫度降低時，格點自旋的取向翻轉(zhuǎn)變得越來越困難；這樣，一個格點上的自旋在大部分時間都喜歡朝向某個方向。但是由于無序與阻錯的存在，這種自旋偏好取向和程度在不同的格點可以很不一樣而且沒有規(guī)律性，導(dǎo)致體系不表現(xiàn)出宏觀的磁性。這種微觀上有自發(fā)磁矩但宏觀上不表現(xiàn)出磁性的特征在許多自旋玻璃系統(tǒng)中都可以觀察到。

對自旋玻璃系統(tǒng)的理論研究所取得的進展主要是從平均場模型中獲得的。這些平均場模型包括兩大類。有一類模型是定義于完全連通的圖上的，即圖上每一個頂點和其它所有頂點都有一條邊直接相連，這一類模型以玈herrington-Kirkpatrick模型和p自旋相互作用模型為代表；另一類是定義于有限連通的隨機圖上的，即圖上每一個頂點只和少數(shù)一些其它頂點有直接的邊相連，但這幾個近鄰頂點是從所有頂點中完全隨機地選取的，這一類模型以玍iana-Bray模型為代表。通過三十年來的努力，自旋玻璃理論獲得了很大的發(fā)展。今天，自旋玻璃理論的應(yīng)用領(lǐng)域已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不局限于無序合金系統(tǒng)，它在更加廣闊的領(lǐng)域獲得了許多重要的應(yīng)用，并且這些應(yīng)用反過來推動著自旋玻璃理論的進一步發(fā)展。

四、展望

復(fù)雜系統(tǒng)統(tǒng)計物理學(xué)是一個很有生命力和應(yīng)用前景的新領(lǐng)域。 當(dāng)前復(fù)雜系統(tǒng)統(tǒng)計物理學(xué)的重要研究課題，除了本文提到的玻璃態(tài)動力學(xué)和老化現(xiàn)象、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的非線性動力學(xué)和網(wǎng)絡(luò)演化、自旋玻璃理論及其應(yīng)用以外還有很多課題。我們尤其希望指出如下兩個重要方面：一是統(tǒng)計物理在金融科學(xué)和社會科學(xué)中的應(yīng)用，二是統(tǒng)計物理學(xué)中的多尺度計算機模擬技術(shù)。統(tǒng)計物理在交叉學(xué)科中的應(yīng)用越來越普遍，實際上統(tǒng)計物理本身在一定程度上也是一門交叉學(xué)科。

對于有志于從事理論物理研究的青年學(xué)生而言，參加到這一具有挑戰(zhàn)性的交叉科學(xué)研究領(lǐng)域無疑是一個很好的戰(zhàn)略選擇。

參考文獻：

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［3］陸坤權(quán)，劉寄星，顆粒物質(zhì)物理學(xué)導(dǎo)論//陸坤權(quán)，劉寄星，主編. 軟物質(zhì)物理學(xué)導(dǎo)論.北京：北京大學(xué)出版社，2006,645-683.

［4］Albert R, Barabasi AL. Statistical mechanics of complex networks. Rev. Mod. Phys.,2002,74: 47-97.

［5］郭雷，許曉鳴,主編. 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò). 上海：上?？萍冀逃霭嫔?，2006.

(欄目編輯廖伯琴)