數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，從這個角度來看，數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù)是優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)。在數(shù)學(xué)思維的各種品質(zhì)中，處于核心位置的是思維的深刻性。因?yàn)樗歉鞣N思維品質(zhì)的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)觀念、數(shù)學(xué)意識的集中反映。實(shí)施數(shù)學(xué)新課標(biāo)，使人人學(xué)有用的數(shù)學(xué)，是數(shù)學(xué)教育實(shí)現(xiàn)平民化和大眾化的需要。而數(shù)學(xué)思維的深刻性的特征是：“能分清主次，從本質(zhì)上揭示數(shù)學(xué)的邏輯結(jié)構(gòu)；能洞察研究對象和事實(shí)的實(shí)質(zhì)，以及它們之間的內(nèi)在聯(lián)系；能從所研究的材料中找出被掩蓋的個別特征，能組合各種具體模式?！痹谛聲r代里，不管從事什么工作，人人都會面臨各種各樣的復(fù)雜局面與激烈競爭，思維的深刻性將幫助人們進(jìn)行精準(zhǔn)的分析判斷，以作出正確的決策，取得獲勝的先機(jī)。所以發(fā)展學(xué)生思維的深刻性是貫穿數(shù)學(xué)教育始終，且有利于他們終生發(fā)展的重大任務(wù)。

1.深刻性是抽象概括形成數(shù)學(xué)概念的條件

數(shù)學(xué)最主要的特征就是其抽象性，基于此才具有了應(yīng)用的廣泛性。學(xué)生到了高中，研究對象的抽象度大大提高，許多概念都是對具體事物經(jīng)過抽象概括而形成的，抽象概括是對事物本質(zhì)屬性的提煉，思維的深刻性是抽象概括的基礎(chǔ)。

世界上的萬事萬物有著各種屬性，其中有的是非本質(zhì)的，有的是本質(zhì)的，體現(xiàn)事物功能的屬性就是本質(zhì)屬性。如三角形，它可以由各種材料制成，可以在上面涂上各種顏色、添加各種文字和花紋，但數(shù)學(xué)一概不管這些非本質(zhì)屬性，數(shù)學(xué)只關(guān)心它的邊與角間的各種關(guān)系，以及與其他圖形的位置關(guān)系，如三個內(nèi)角的和為180°，任意兩邊之和大于第三邊，勾股定理，正弦定理，余弦定理，圓與三角形的關(guān)系等。這種去偽存真、去粗取精的能力正是思維深刻性的反映。

例1：課例：《交集與并集》。

若缺乏本質(zhì)的理解，學(xué)生即使將交集和并集的定義背得滾瓜爛熟也無法應(yīng)用于實(shí)際問題，關(guān)鍵在于對“且”與“或”這兩個字的實(shí)質(zhì)性的理解。筆者用四種語言，即文字語言、圖形語言、符號語言和生活語言“四管齊下”的方式，促使他們的深刻領(lǐng)悟，逐步由形象和直覺的感悟過度到抽象的概括。如設(shè)集合A={牛、馬，羊，豬，雞}，集合B={牛，馬，羊，駱駝，大象}，那么A∩B={牛，馬，羊}，A∪B={牛、馬，羊，豬，雞，駱駝，大象}。若用兩個矩形來表示（如圖1），即將規(guī)律揭示得非常清楚，特別是A∪B，它的元素一般分成三部分，即屬于A，不屬于B；屬于B，不屬于A；既屬于A，且屬于B。這里也不是非用矩形不可，只要抓住本質(zhì)，用圓或其他任何圖形都可以。在此基礎(chǔ)上，通過順應(yīng)，交集和并集的性質(zhì)自然就昭然若揭了：

（1）若集合A的元素個數(shù)記為card（A），則有card（A∪B）=card（A）+card（B）-card（A∩B）。

（2）若圖1中集合A對應(yīng)部分的面積記為S（A），則有S（A∪B）=S（A）+S（B）-S（A∩B）。

思維的深刻性使人們具有一雙慧眼，在這雙慧眼里，上面的兩個關(guān)系并沒有根本的區(qū)別，完全可以達(dá)到一種無差異的高境界，而且還可以作進(jìn)一步的推廣，對于線段的長、體積、人數(shù)等，都可以得到相應(yīng)的關(guān)系式，這表明認(rèn)識的升華與數(shù)學(xué)素養(yǎng)的質(zhì)的提高。學(xué)生對于“且”與“或”的深刻認(rèn)識十分有利于后續(xù)的學(xué)習(xí)，如《簡易邏輯》中的“且”與“或”、“分步、分類”兩個計數(shù)原理、解決《排列組合》中用“乘”或“加”、概率的乘法公式P（AB）=P（A）P（B）與加法公式P（A+B）=P（A）+P（B），都在“且”與“或”上有本質(zhì)的聯(lián)系，并實(shí)現(xiàn)本質(zhì)的溝通。

2.深刻性是構(gòu)建知識與技能網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的基石

在數(shù)學(xué)教學(xué)中揭示各部分知識與技能之間的內(nèi)在聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)本質(zhì)的溝通，構(gòu)建知識與技能網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，是發(fā)展學(xué)生思維、提高分析與解決問題能力的必經(jīng)之路。而深刻性則是構(gòu)建知識與技能網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的基石。例1中關(guān)于“且”與“或”展示的就是一個知識與技能網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，同時顯示了思維的廣闊性。

例2：建立在任意角的三角函數(shù)定義基礎(chǔ)上的一個知識系統(tǒng)。

如圖2，角的終邊與以半徑為r的圓交于點(diǎn)P（x，y），

則有sinα= cosα= ①

由①式自然可得x=rcosα，y=rsinα。②

用②式，由r與α可反過來求P點(diǎn)的坐標(biāo)。

②式中的兩式兩邊分別平方，并相加，得x +y =r ③

③式就是以原點(diǎn)為圓心，半徑為r的圓的方程。

③式可化為( ) +( ) =1，則可得x=rcosαy=rsinα④

④式與②式雖有相同的形式，但可有不同的視角，可認(rèn)為是圓的參數(shù)方程，也可以認(rèn)為是三角代換的產(chǎn)物。不同的視角可有不同的感受，但獲得的是知識之間的融會貫通。

由三角代換可聯(lián)想到，若非零實(shí)數(shù)a、b、c滿足a +b =c ，則可化為( ) +( ) =1，則可得

a=ccosαb=csinα⑤

或由a+b=c（a、b、c為正實(shí)數(shù)），得 + =1，

則 =sin α， =cos α。⑥

由( ) +( ) =1還可展現(xiàn)一種重要的代換：

asinα+bcosα= ( sinα+ cosα)= sin(α+φ)⑦

④⑤⑥⑦等展現(xiàn)的是以三角代換為基本內(nèi)容的轉(zhuǎn)化。

將思緒進(jìn)一步拓展，可得向量 =(x，y)=r(sinθ，cosθ)、復(fù)數(shù)z=x+yi=r(cosθ+sinθ)，與⑦式如出一轍。

由④式還可聯(lián)想到，若將橢圓方程 + =1(a＞b＞0)化為( ) +( ) =1，則又可得

x=acosφy=bsinφ⑧

⑧式究竟是什么？是三角代換的產(chǎn)物？還是橢圓的參數(shù)方程？已經(jīng)不重要了，重要的是立根于任意角的三角函數(shù)定義“這粒種子”，發(fā)展成“一棵參天大樹”，在學(xué)生的心目中構(gòu)成了一個能夠縱橫聯(lián)系、自由馳騁，且簡潔和諧的統(tǒng)一體。遇到相關(guān)問題，就可以進(jìn)行有效的檢索，迅速組成“殺傷力”極強(qiáng)大的“火力系統(tǒng)”，使新穎陌生的問題“俯首稱臣”。

3.深刻性是實(shí)現(xiàn)創(chuàng)造思維制服“難題”的法寶

基于上面的討論，我們認(rèn)識到深刻性十分有利與在更廣闊的知識與技能的背景中進(jìn)行檢索，以迅速找到解決問題，特別是制服那些所謂的“難題”的法寶，提升數(shù)學(xué)能力。

例3：求函數(shù)y= + 的值域。

這是一道高考題的核心部分，雖然解決的方法多種多樣，但下面的一種更具啟迪意義：

由題設(shè)知-1≤x≤1，則可設(shè)x=sinθ(- ≤θ≤ )，所以，y =2+2 =2+2cosθ，y ∈［2，4］，故所求函數(shù)的值域?yàn)椋?，2］。

這里運(yùn)用的是又一種形式的三角代換，與例2有所區(qū)別，但深刻性使三角代換這個技能得到遷移，從而出奇制勝地解決了問題。

4.深刻性是戒誤糾錯的“靈方妙藥”

在整個數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，不僅要樹立“正面形象”，而且要時時利用典型錯誤作為“反面教員”，促使學(xué)生深刻理解知識與技能的本質(zhì)，以敏銳的觀察力洞悉、發(fā)現(xiàn)、糾正解題過程中的錯誤，彰顯思維的批判性。G#8226;波利亞說得好：“教學(xué)生解題是意志的教育，具有孜孜不倦追求真理的頑強(qiáng)意志是深化思維、提高能力的有力保證?！?/p>

例4：如圖3，斜三棱柱ABC-A B C 的底是等腰直角三角形，直角邊AB=AC=2，側(cè)棱與底面成60°角，BC ⊥AC，BC =2 ，求BC 與底面ABC所成的角。

學(xué)生按常規(guī)，不難得如下解法：

∵AC⊥AB，BC ⊥AC，

∴AC⊥面ABC ，面ABC⊥面ABC 。

作C H⊥AB于H，連CH，則C H⊥面ABC，∠C BH、∠C CH分別是BC 、C C與底面所成的角，

∴∠C CH=60°。

設(shè)AH=x，則BH=2-x，

在Rt△BC H中，C H= ，

在Rt△ACH中，CH= 。

在△C CH中，tan∠C CH=tan60°= = = 。

解此方程，得x=2，或x=-1。

似乎是一帆風(fēng)順，可是在教師意料之中的錯誤還是不可避免地出現(xiàn)了，學(xué)生普遍認(rèn)為x=-1不合理，舍去；x=2時，H與B重合，也不合題意，舍去，故原題無解。

教師：好不容易得兩個值，可都被舍掉了，真是太可惜了！

學(xué)生（自豪）：那也得舍，不能感情用事！

教師：還是小心為妙，防止造成“冤假錯案”，“一失足成千古恨”?。?/p>

幽默風(fēng)趣的語言對學(xué)生固有的思維產(chǎn)生一股強(qiáng)大的沖擊力，學(xué)生漸漸地認(rèn)識到當(dāng)x=2時，點(diǎn)H與B重合，此時可得所求角為90°?？蛇€有學(xué)生認(rèn)為x=-1不合理，再一次促使學(xué)生思維深化，最后學(xué)生認(rèn)識到當(dāng)x=-1時，點(diǎn)H在BA的延長線上，也有意義，此時可得所求角為arctan 。

只要我們堅(jiān)持不懈，天長日久，發(fā)展學(xué)生思維深刻性這項(xiàng)系統(tǒng)工程一定會獲得豐碩的成果。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文?！?/p>