求數(shù)列的通項(xiàng)公式是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)問題，也是高考命題的熱點(diǎn)問題，關(guān)于Aa =Ba +f（n）（A≠B且A，B都不為0）這種類型求數(shù)列｛a ｝的通項(xiàng)公式，是學(xué)生的一個(gè)難點(diǎn)。若能靈活地對(duì)遞推式進(jìn)行恰當(dāng)變型，構(gòu)造相關(guān)的新數(shù)列，可使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，陌生問題熟悉化。

【例1】在數(shù)列｛a ｝中，a = ，a = a + #8226; （n∈N ，且n≥2）。求數(shù)列｛a ｝的通項(xiàng)公式。

解：∵a = a + #8226;

∴3 #8226;a = #8226;3 a +

記b =3 #8226;a ，則b = b +

設(shè)b +x= （b +x），整理得：b = b + x

∴ x= ，即x=1

∴b +1= （b +1）

∵a = ，∴b +1=3 #8226;a +1=3× +1=

∴數(shù)列｛b +1｝是以 為首項(xiàng) 為公比的等比數(shù)列

∴b +1= #8226;=

∴3 #8226;a +1=

∴a = - 即為所求。

【例2】已知數(shù)列｛a ｝的前n項(xiàng)的和為S =2a -3#8226;2 +10，（n=1，2，3，…），求數(shù)列｛a ｝的通項(xiàng)公式。

解：∵S =2a -3#8226;2 +10（1）

∴S =2a -3#8226;2 +10（n≥2）（2）

由（1）-（2）得：S -S =2a -3#8226;2 +10-（2a -3#8226;2 +10）

∴a =2a +3#8226;2

∴ = +3

記b = ，則b =b +3

在（1）中令n=1得：S =2a -3#8226;2 +10

∵S =a

∴a =2

∴b =1

∴數(shù)列｛b ｝是以1為首項(xiàng)3為公差的等差數(shù)列

∴b = =1+3（n-1），解得：a =2 （3n-2）。

【例3】已知數(shù)列｛a ｝的前n項(xiàng)的和S 滿足：S -S =3-（n≥3），且S =1，S =- 求數(shù)列｛a ｝的通項(xiàng)公式。

解：當(dāng)n≥2時(shí)，a =S -S

∴S =a +S ，代入S -S =3-，

得a +S -S =3#8226;-

∴a +a =3#8226;-

∴ + =3

記b = ，則- b +b =3，即b =2b -6

令b +x=2（b +x），則b =2b +x，解得：x=-6

∴b -6=2（b -6）

∵a =S =1

∴b -6= -6=-8

∴數(shù)列｛b -6｝是以-8為首項(xiàng)2為公比的等比數(shù)列

∴b -6=（-8）#8226;2 ，即 -6=（-8）#8226;2

解得：a =（-1） -4+3#8226; 。

【例4】已知數(shù)列｛a ｝的前n項(xiàng)的和為S ，且對(duì)一切正整數(shù)n都有S =n + a ，求數(shù)列｛a ｝的通項(xiàng)公式。

解：∵S =n + a （1）

∴S =（n+1） + a （2）

由（2）-（1）得：S -S =（n+1） + a -n + a

∴a =2n+1+ a - a ，即a =-a +4n+2

∴a -2（n+1）=-（a -2n）

記b =a -2n，則b =-b

在（1）中令n=1得：S =1 + a ，

∵S =a

∴a =2，從而得b =0

∴b =0

∴a =2n即為所求。

上述例題中的數(shù)列｛a ｝所給的條件均可轉(zhuǎn)化為Aa =Ba +f（n）（A≠B）這種類型，經(jīng)過恰當(dāng)變形后所構(gòu)造的數(shù)列｛b +1｝，｛b ｝，｛b -6｝，｛b ｝都是我們所熟知的等差或等比數(shù)列，而且它們與a 有著直接的關(guān)系，從而使問題輕松獲解。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。”