抽象函數(shù)問題是高中數(shù)學(xué)函數(shù)部分的一個難點，由于這類問題的抽象性及其性質(zhì)的隱蔽性，大多數(shù)學(xué)生在解決此類問題時往往感到束手無策。以函數(shù)方程作為約束條件，是近年高考試題中考察抽象函數(shù)的常見形式之一。本文借助函數(shù)模型，就這類抽象函數(shù)的性質(zhì)作些解析與歸納，以期對學(xué)生的學(xué)習(xí)有所幫助。

類型一：f（x+y）=f（x）+f（y）

輔助函數(shù)模型：f（x）=ax（a≠0）

性質(zhì)1：設(shè)函數(shù)f（x）是定義在上的函數(shù)，滿足f（x+y）=f（x）+f（y），則有：①f（0）=0;②f（x）在R上是奇函數(shù)；③若x≠0時f（x）≠0，則f（x）在R上是單調(diào)函數(shù)。

解析：對于初學(xué)者來說，理解形如“f（x+y）=f（x）+f（y）”的條件（這種條件我們一般稱之為函數(shù)方程）確有困難，此時通過輔助熟悉的函數(shù)模型，可以加深對該類問題的理解。

①令x=y=0，則f（0+0）=f（0）+f（0），即f（0）=2f（0），∴f（0）=0。

②令y=-x，則f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）=0。又∵x∈R，∴f（x）在R上是奇函數(shù)。

③任取x ，x ∈R，且x ＜x ，∵x =x -x +x ，∴f（x ）=f［（x -x ）+x ］=f（x -x ）+f（x ），∴f（x ）-f（x ）=f（x -x ）≠0。當(dāng)f（x -x ）＞0時，f（x）在R上是增函數(shù)；當(dāng)f（x -x ）＜0時，f（x）在R上是減函數(shù)，所以f（x）在R上是單調(diào)函數(shù)。

類型二：f（x+y）=f（x）f（y）

輔助函數(shù)模型：f（x）=a （a＞0且a≠1）

性質(zhì)2：設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的函數(shù)，滿足f（x+y）=f（x）f（y）

且f（0）≠0，當(dāng)x＞0時恒有f（x）＞1或f（x）＜1，則有：①f（x）＞0且f（0）=1；②f（-x）f（x）=1；③f（x-y）= ；④f（x）在R上是單調(diào)函數(shù)。

解析：

①令x=y=0，則f（0+0）=f（0）f（0），即f（0）=［f（0）］ ，∴f（0）=0或f（0）=1。若f（0）=0，則對任意的x∈R時有f（x+0）=f（x）f（0），即f（x）=0，這與條件f（0）≠0矛盾，∴f（0）=1。又令x=y= ，則f（ + ）=f（ ）f（ ），即f（x′）=［f（ ）］ ≥0，∵f（ ）≠0，∴f（x′）＞0即f（x）＞0。

②令y=-x，則f（x-x）=f（x）f（-x）=f（0）=1。

③令y=-y′，則f（x-y′）=f（x）f（-y′），由②知f（-y′）= ，∴f（x-y′）= ，即f（x-y）= 。

④任取x ，x ∈R，且x ＜x ，∵x =x -x +x ，∴f（x ）=f［（x -x ）+x ］=f（x -x ）f（x ），∴ =f（x -x ）。當(dāng)f（x -x ）＞1時，f（x）在R上是增函數(shù)；當(dāng)f（x -x ）＜1時，f（x）在R上是減函數(shù)，所以f（x）在R上是單調(diào)函數(shù)。

類型三：f（xy）=f（x）+f（y）

輔助函數(shù)模型：f（x）=log x（a＞0，a≠1）

性質(zhì)3：設(shè)函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的函數(shù)，滿足f（xy）=f（x）+f（y），當(dāng)x＞1時恒有f（x）＞0或f（x）＜0，則有：①f（1）=0；②f（ ）=-f（x）；③ =f（x）-f（y）；④f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)。

解析：略（讀者可仿前例證明）。

類型四：f（xy）=f（x）f（y）

輔助函數(shù)模型：f（x）=x （x＞0，n∈Q）

性質(zhì)4：設(shè)函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的函數(shù)，滿足f（xy）=f（x）f（y）且f（x）≠0，當(dāng)x＞1時恒有f（x）＞1或f（x）＜1，則有：①f（1）=1；②當(dāng)x＞0時，f（x）＞0；③f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)。

解析：略（讀者可仿前例證明）。

類型五：f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）

輔助函數(shù)模型：f（x）=cosx

性質(zhì)5：設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的函數(shù)，滿足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）且f（0）≠0，則有：①f（0）=1；②f（x）在R上是偶函數(shù)；③若f（ ）=0，則f（x）在R上是以2π為周期的周期函數(shù)。

解析：

①證略。

②令x=0，則f（y）+f（-y）=2f（0）f（y），由①知f（0）=1，∴f（y）+f（-y）=2f（y），即f（-y）=f（y），所以f（x）在R上是偶函數(shù)。

③令y= ，則f（x+ ）+f（x- ）=2f（x）f（ ）=0，∵f（x）在R上是偶函數(shù)，∴f（x+ ）=-f（x- ）=-f（ -x）。又∵f（x+π）=f［（x+ ）+ ］=-f［ -（x+ ）］=-f（-x）=-f（x），∴f（x+2π）=f［（x+π）+π］=-f（x+π）=f（x），∴f（x）在R上是以2π為周期的周期函數(shù)。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文?！?/p>