在三角函數(shù)這一章的學(xué)習(xí)過(guò)程中，經(jīng)常會(huì)遇到確定角的取值范圍問(wèn)題。如果不能準(zhǔn)確把握角的范圍，甚至忽略對(duì)角的范圍的討論，必將造成解答錯(cuò)誤。那么如何強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性，準(zhǔn)確把握角的范圍，提高解題能力呢？

一、利用圖示法，快速確定角的范圍

例1.（05年高考全國(guó)卷Ⅲ）已知α為第三象限的角，則 所在的象限是（）。

A.第一或第二象限

B.第二或第三象限

C.第一或第三象限

D.第二或第四象限

解析：如圖，將每個(gè)象限二等分，標(biāo)號(hào)3所在的區(qū)域即為 所在的區(qū)域，故選D。

這種圖示法事實(shí)上是將α的范圍用式子表示出來(lái)，然后求出 的范圍，再進(jìn)行分類(lèi)討論即可得到。依此類(lèi)推，由α所在象限，求 、 、… 所在象限時(shí)，我們可以把直角坐標(biāo)系中的各個(gè)象限依次進(jìn)行三等分、四等分、…n等分，從x軸右上方開(kāi)始按逆時(shí)針將各區(qū)域依次標(biāo)上1，2，3，4；1，2，3，4；…；α是第幾象限角就找數(shù)字幾，其對(duì)應(yīng)的位置就是 、 、… 等所在的象限。

二、借助單位圓中的三角函數(shù)線來(lái)考慮

例2.若sinθ+cosθ= ，（0＜θ＜π），求cos2θ的值。

解：∵sinθ+cosθ= ，

∴（sinθ+cosθ） = ，

則2sinθ#8226;cosθ=- ，即sin2θ=- 。

∵0＜θ＜π，又sinθ+cosθ= ＞0且2sinθ#8226;cosθ=- ＜0，

∴θ的終邊OP只能落在如圖所示陰影區(qū)域中，

則有 ＜θ＜ 。

∴π＜2θ＜ ，

∴cos2θ=- =- =- 。

這里需要注意的是，若沒(méi)有挖掘題目隱含的角的范圍，就會(huì)得到cos2θ=± =± =± ，從而造成錯(cuò)誤。

三、利用特殊角的三角函數(shù)值對(duì)角進(jìn)行適當(dāng)?shù)膲嚎s

例3.已知α，β為銳角，tanα= ，sinβ= ，求α+2β的值。

解：∵β∈（0， ），且sinβ= ＜ ，

∴0＜β＜ ，易求出tanβ= ，tan2β= 。

∴tan（α+2β）= =1，

∵0＜α＜ ，0＜β＜ ，

∴0＜α+2β＜ ，

∴α+2β= 。

要求角，應(yīng)先求該角的某一三角函數(shù)值，然后根據(jù)此角的范圍得出答案。對(duì)于復(fù)雜的三角變換，要注意配湊、變異、求同，即湊角、湊名、湊常數(shù)，以達(dá)到理想結(jié)構(gòu)變異目標(biāo)。本題如果由0＜α+2β＜ 和tan（α+2β）=1，就會(huì)得出錯(cuò)誤的結(jié)果：α+2β= 或 。可見(jiàn)，對(duì)于β范圍的縮小是明智的選擇。

四、整體考慮，謹(jǐn)防擴(kuò)大角的范圍

例4.已知1≤α-β≤2，3≤α+β≤4，求4α-2β的取值范圍。

解：由待定系數(shù)法可知：4α-2β=3（α-β）+（α+β），

∵1≤α-β≤2，∴3≤3（α-β）≤6，

又∵3≤α+β≤4，∴6≤3（α-β）+（α+β）≤10，

即6≤4α-2β≤10。

值得一提的是，這里需謹(jǐn)防由已知條件分別求出2≤α≤3， ≤β≤ ，由此配湊出所要求的式子的取值范圍是5≤4α-2β≤11，從而導(dǎo)致角的取值范圍擴(kuò)大。造成這種錯(cuò)誤的原因是利用了不等式的非等價(jià)性質(zhì)，即不等式組：2≤α≤3且 ≤β≤ 與已知條件組成的不等式組不是等價(jià)的。

五、利用三角函數(shù)的有界性

例5.△ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，則∠C的大小為（）。

A. B. C. 或 D. 或

分析：把已知的兩個(gè)方程平方相加易得：sin（A+B）= ，

即sinC= ，

∵0＜B＜π，∴-1＜cosB＜1，

由3sinA+4cosB=6得：4cosB=6-3sinA＜4，

∴sinA＞ ＞ 。

∵0＜A＜π，∴A＞ ，

∴∠C= 或∠C= （舍去），故選A。

六、利用正弦定理或余弦定理來(lái)判斷角的范圍

在△ABC中a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，由正弦定理容易得到結(jié)論：A＞B?圳a＞b?圳sinA＞sinB。

例6.在△ABC中，已知sinB= ，cosA= ，求cosC的值。

分析：∵cosA= ＞0，∴A是銳角，而由sinB= 很難判斷∠B是銳角還是鈍角。本題是一解還是二解，關(guān)鍵要根據(jù)a、b的大小而定，避免產(chǎn)生增解。

證明：∵cosA= ＞0，∴∠A是銳角，且sinA= 。

根據(jù)上面的結(jié)論：∵sinA＞sinB，∴∠A＞∠B，

∵∠A是銳角，∴∠B是銳角。

由sinB= 得：cosB= ，

∴cosC=-cos（A+B）=-cosA#8226;cosB+sinA#8226;sinB=- × + × = 。

七、利用均值不等式確定角的范圍

例7.教室內(nèi)的黑板上下邊緣都分別在學(xué)生的水平視線上方am和bm，問(wèn)學(xué)生距墻壁多遠(yuǎn)時(shí)，看黑板的視角最大?

分析：要求視角最大，首先應(yīng)先求其某一三角函數(shù)關(guān)系，根據(jù)三角函數(shù)值的大小，來(lái)確定角的大小。

解：如圖，設(shè)學(xué)生P距黑板xm，黑板上、下邊緣與學(xué)生P的水平視線PC的夾角分別為∠APC=α，∠BPC=β（α＞β），則tanα= ，tanβ= （x＞0）。

∵tan（α-β）= = ≤ ，

當(dāng)且僅當(dāng)x= ，即x= 時(shí)取等號(hào)，

∴tan（α-β）最大值為 。由正切函數(shù)的單調(diào)性及α-β為銳角可知，此時(shí)α-β也最大。

故當(dāng)學(xué)生距黑板墻面的距離為 米，看黑板的視角最大。

總之，在解答有關(guān)的三角函數(shù)問(wèn)題時(shí)，必須重視對(duì)角的取值范圍的考慮，充分挖掘題中隱含條件，歸納總結(jié)出相應(yīng)的解題經(jīng)驗(yàn)，養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣，提高解題能力。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文?！?/p>