摘要： 本文從共線、角平分線、中線三個(gè)方面介紹了普通語言向圖形語言再向向量語言的轉(zhuǎn)化。

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)解題 文字語言 圖形語言 向量語言 轉(zhuǎn)化

G#8226;波利亞在數(shù)學(xué)解題思維過程中提出了四個(gè)階段，即弄清問題、擬定計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃和回顧。這四個(gè)階段思維過程的實(shí)質(zhì)，可以用下列八個(gè)字加以概括：理解、轉(zhuǎn)換、實(shí)施、反思。其中最重要的就是第二階段——轉(zhuǎn)換。轉(zhuǎn)換問題是解題思維活動的核心，是探索解題方向和途徑的積極的嘗試發(fā)現(xiàn)過程，是思維策略的選擇和調(diào)整過程。數(shù)學(xué)解題的關(guān)鍵是將文字語言有效地轉(zhuǎn)化到數(shù)學(xué)語言中。在向量的一些例題中若能有效地將普通的文字語言適當(dāng)?shù)赝鶊D形和向量語言上轉(zhuǎn)化，那么結(jié)論就在眼前了。

1.共線的向量表示

A，B，C三點(diǎn)共線?圯?圯 ?圯λ ?圯

?圯λ （1-λ）

例1.過△ABC的重心G任作直線l分別交AB，AC于D，E，若 =x ， =y （xy≠0），則x，y所滿足的關(guān)系式 + = 。

解：G為△ABC的重心，則 =，D為BC邊上的中點(diǎn)，則 = （ + ），即 == #8226; （ + ）=+，又G，D，E三點(diǎn)共線，則 =λ +（1-λ） =λx +（1-λ）y ，

所以 =λx （1-λ）y，所以 + =3。

2.角平分線的向量表示

點(diǎn)C在∠AOB的角平分線上?圯?圯 =

例2（2005年天津高考題）.在直角坐標(biāo)系xoy中，已知點(diǎn)A（0，1）和點(diǎn)B（-3，4），OC是∠AOB的角平分線上且 =2，則 =。

解：將文字語言轉(zhuǎn)化為圖形語言（如圖），再將圖形語言轉(zhuǎn)化向量語言。

又 =2，得λ= ，

∴ =- ， 。

3.中線的向量表示

點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)?圯 ?圯 + =2

例3（2005年高考題）.在△ABC中，O為中線AM上的一個(gè)動點(diǎn)，若AM=2，則 #8226;（ + ）的最大值是。

解：根據(jù)題意作出圖形

4.鞏固練習(xí)

（1）（江西卷）在△ABC中，點(diǎn)O是BC邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點(diǎn)M，N，若 =m ， =n ，則m+n的值為2。

（2）已知點(diǎn)C是△OAB邊AB上的中點(diǎn)，P為OC上的點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線交OA，OB于M，N，且 =m ， =n ， =p ，則m，n，p滿足 + = 。

（3）已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C及平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足 + + = ，則下列結(jié)論中正確的是（D）。

A.P在△ABC內(nèi)部B.P在△ABC外部

C.P在AB所在直線上D.P在AC邊的一個(gè)三等分點(diǎn)上

（4）在直角坐標(biāo)系xoy中，已知點(diǎn)A（0，1）和點(diǎn)B（-3，4），C

點(diǎn)在AB上且OC是∠AOB的角平分線，則

（5）已知O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線三點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足4 = +λ + ，λ∈（0，+∞），則P點(diǎn)的軌跡一定通過△ABC的（C）。

A.重心B.垂心C.內(nèi)心D.外心

（6）在△ABC中，AP是BC邊上的中線， =3， #8226; =-2，求 = 。

以上是體現(xiàn)在向量中的一些轉(zhuǎn)化，其實(shí)在數(shù)學(xué)中就有一種數(shù)學(xué)思想方法——等價(jià)轉(zhuǎn)化，我們要能很好地解決數(shù)學(xué)中的一些問題，關(guān)鍵就要能正確地找到相關(guān)的等價(jià)轉(zhuǎn)化的形式，這樣就能將復(fù)雜問題簡單化，未知問題已知化，從而找到問題的突破口，解決相關(guān)的問題。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”