摘要： 本文介紹了概率的某些知識(shí)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，主要圍繞古典概率、全概率公式、數(shù)學(xué)期望等有關(guān)知識(shí)，探討概率知識(shí)在實(shí)際生活中的廣泛應(yīng)用，進(jìn)一步揭示概率統(tǒng)計(jì)與實(shí)際生活的密切聯(lián)系。

關(guān)鍵詞： 概率 古典概率 全概率公式 數(shù)學(xué)期望

隨著人類社會(huì)的進(jìn)步，科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，經(jīng)濟(jì)全球化的日益進(jìn)程，數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用越來(lái)越廣，生活中的數(shù)學(xué)無(wú)處不在。數(shù)學(xué)的一個(gè)非常重要的分支——概率論，在眾多領(lǐng)域內(nèi)扮演著越來(lái)越重要的角色，取得了越來(lái)越廣泛的應(yīng)用。正如英國(guó)邏輯學(xué)家和經(jīng)濟(jì)學(xué)家杰文斯所說(shuō)：概率論是“生活真正的領(lǐng)路人，如果沒(méi)有對(duì)概率的某種估計(jì)，我們就寸步難行，無(wú)所作為”。

概率論滲透到生活的方方面面，從而為我們的日常生活帶來(lái)方便，下面從三個(gè)方面來(lái)討論概率在實(shí)際生活中的具體應(yīng)用。

1.古典概率的應(yīng)用

古典概率是概率里最早的一種最簡(jiǎn)單的概率模型，也是應(yīng)用最廣泛的概率。許多實(shí)際問(wèn)題都可以將其轉(zhuǎn)化為古典概率加以解決。

例1：在斯諾克臺(tái)球比賽中，我國(guó)運(yùn)動(dòng)員丁俊暉與國(guó)外運(yùn)動(dòng)員奧沙利文相遇，根據(jù)實(shí)際排名和以往的戰(zhàn)績(jī)統(tǒng)計(jì)，每賽一局丁俊暉勝的概率為0.45，奧沙利文勝的概率為0.55。若比賽既可采用三局兩勝制，也可以采用五局三勝制，問(wèn)采用哪種賽制對(duì)丁俊暉更有利?

具體分析如下：

（1）采用三局兩勝制：設(shè)A 表示丁俊暉勝前兩局，A 表示前兩局中二人各勝一局，第三局丁俊暉勝，A表示丁俊暉勝，則A=A ∪A ，而P（A ）=0.45 =0.2025，P（A ）=（0.45 ×0.55）×2=0.22275。

由于A 與A 互斥，由加法公式得

P（A）=P（A ∪A ）=P（A ）+P（A ）=0.2025+0.22275=0.42525

（2）采用五局三勝制：設(shè)B表示丁俊暉勝，B 表示前三局丁俊暉勝，B 表示前三局中丁俊暉勝兩局，奧沙利文勝一局，第四局丁俊暉勝，B 表示前四局兩人各勝兩局，第五局丁俊暉勝，則B=B ∪B ∪B ，而P（B ）=0.45 =0.091125，

P（B ）=C0.45 ×0.55×0.45=0.150356，

P（B ）=C0.45 ×0.55 ×0.45=0.165392，

所以P（B）=P（B ∪B ∪B ）=P（B ）+P（B ）+P（B ）

=0.091125+0.150356+0.165392=0.4069

由于P（B）＜P（A），故采用三局兩勝制對(duì)丁俊暉有利，但從公平性而言，因丁俊暉勝的概率為0.45，奧沙利文勝的概率為0.55，所以“五局三勝制”更公平、更合理。在實(shí)際比賽中，采用的是十九局十局勝制，更為公平、合理，結(jié)果是丁俊暉輸了（斯諾克大師賽中的比賽結(jié)果），如果采用三局兩勝制，丁俊暉就有可能戰(zhàn)勝奧沙利文。

類似的利用古典概率求解的案例有許多，比如博彩、產(chǎn)品抽樣檢查等。利用古典概率求解實(shí)際問(wèn)題時(shí)并不都是這么容易的，而許多古典概率的計(jì)算相當(dāng)困難而富有技巧，計(jì)算的要點(diǎn)是給定樣本點(diǎn)，并計(jì)算它的總數(shù)，再計(jì)算有利場(chǎng)合的數(shù)目。

2.全概率公式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用

全概率公式是概率論中一個(gè)重要的公式，在實(shí)際中同樣有廣泛的應(yīng)用。先引進(jìn)定義：設(shè)B ，B ，…B 為樣本空間Ω的一個(gè)劃分，即B ，B ，…B 互不相容，且 B =Ω，P（B ）＞0，i=1，2，…n，則對(duì)任一事件A有P（A）= P（B ）P（A/B ）。

例2：假設(shè)100張獎(jiǎng)券中有3張是中獎(jiǎng)券，現(xiàn)有10人依次抽取，每人抽一張，那么第一位抽獎(jiǎng)?wù)呤欠癖鹊诙怀楠?jiǎng)?wù)咧歇?jiǎng)的幾率更大一些呢?

分析：設(shè)A表示第一位抽獎(jiǎng)?wù)呤侵歇?jiǎng)?wù)?，B表示第二位抽獎(jiǎng)?wù)咧歇?jiǎng)，依全概率公式得P（A）=C/C=3/100，

P（B）=P（A）P（B/A）+P（ ）P（B/ ）= × + × = ，

因此第一位抽獎(jiǎng)?wù)吲c第二位抽獎(jiǎng)?wù)咧歇?jiǎng)的幾率一樣大。事實(shí)上，所有抽獎(jiǎng)的人中獎(jiǎng)的幾率都相等，這說(shuō)明能否中獎(jiǎng)與抽獎(jiǎng)次序無(wú)關(guān)，因此抽獎(jiǎng)是公平的。

類似的利用全概率公式求解的案例有許多，比如工廠有多條流水線，求故障發(fā)生概率就是利用全概率公式求解，或者已知故障發(fā)生概率，追究不同流水線應(yīng)承擔(dān)的責(zé)任，利用的是全概率公式的反向——貝葉斯公式。在利用全概率公式求解實(shí)際問(wèn)題中，關(guān)鍵是對(duì)問(wèn)題的合理劃分，考慮所有可能導(dǎo)致問(wèn)題發(fā)生的情況。

3.數(shù)學(xué)期望在求解最大利潤(rùn)問(wèn)題中的應(yīng)用

如何獲取最大利潤(rùn)不但成為商界追求的目標(biāo)，同時(shí)還為越來(lái)越多的人所關(guān)注。許多數(shù)學(xué)模型也從概率角度利用期望求解最大利潤(rùn)問(wèn)題，為問(wèn)題的解決提供新的思路。下面就是一道應(yīng)用期望探討利潤(rùn)的問(wèn)題：

設(shè)某產(chǎn)品每周需求量Q取1，2，3，4，5為值，是等可能的。生產(chǎn)每件產(chǎn)品的成本為C =3元，每件產(chǎn)品的售價(jià)為C =9元；設(shè)售出的產(chǎn)品以每件C =1元的費(fèi)用存入倉(cāng)庫(kù)。問(wèn)生產(chǎn)者每周生產(chǎn)多少件產(chǎn)品能使所期望的利潤(rùn)最大？

此問(wèn)題的解決先是建立利潤(rùn)與銷售量的函數(shù)，然后求利潤(rùn)的期望，即求關(guān)于銷量P的函數(shù)的期望得到關(guān)于生產(chǎn)量H的函數(shù)，再求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)原函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系，以及極值與導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)果。

此外，期望的思想用于某項(xiàng)活動(dòng)中，可以減少工作量，保險(xiǎn)、股票等風(fēng)險(xiǎn)投資都帶有一定的隨機(jī)性，運(yùn)用數(shù)學(xué)期望這一隨機(jī)變量的總體特征來(lái)預(yù)計(jì)收益或決策投資比較客觀。

參考文獻(xiàn)：

［1］李賢平.概率論基礎(chǔ)［M］.高等教育出版社，1997.

［2］趙秀恒等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)［M］.河北教育出版社.

［3］謝國(guó)瑞等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)［M］.高等教育出版社，2003.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。”