數(shù)量關系與現(xiàn)實世界空間形式是數(shù)學學科不可分割的一個整體，數(shù)與形的結(jié)合是數(shù)學學科最為突出的特點之一。因此，在數(shù)學的學習過程中我們必須逐步樹立數(shù)形結(jié)合的思想，逐步學會用數(shù)形結(jié)合的方法來解決數(shù)學問題，逐步養(yǎng)成以形想數(shù)、以數(shù)思形的良好思維品質(zhì)?？梢赃@樣說，沒有樹立起數(shù)形結(jié)合思想、不會隨時靈活運用數(shù)形結(jié)合的方法來解決數(shù)學問題的人，一定學不好高中數(shù)學。相反，當我們樹立起了數(shù)形結(jié)合的思想，將函數(shù)、方程、不等式、復數(shù)、向量、解析幾何等知識有機地聯(lián)系起來，并能隨時靈活地運用數(shù)形結(jié)合的方法來解答數(shù)學問題，那么必定會使許多數(shù)學問題得到最直觀、最簡捷的解答，有時甚至會得到意想不到的收獲。下面舉幾例加以說明。

例1：當m為何值時，關于x的方程=x+m有兩個不等實數(shù)根？一個實數(shù)根？沒有實數(shù)根？

分析：若將原方程有理化，討論方程2x+2mx+m-1=0在x∈A={x|1-x≥0}上解的情況，則計算量大并且不容易得到正確答案。但若從圖形方面去思考，問題便化歸為討論兩曲線y=（即x+y=1，y≥0）與y=x+m交點個數(shù)的情況，則問題就容易多了。

圖1

解：在同一坐標系內(nèi)作出曲線y=和直線系y=x+m（如圖1），則當1≤m＜時原方程有兩個不等實數(shù)根；當m=或-1≤m＜1時原方程有一個實數(shù)根；當m＜-1或m＞時原方程沒有實數(shù)根。

例2：已知關于x的二次方程kx-（2k+1）x+k=0的兩個根x、x滿足-1＜x＜1，1＜x＜2，求實數(shù)k的取值范圍。

分析：本題若按思路△＞0并且用求根公式求出兩根x、x再代入-1＜x＜1，1＜x＜2確定實數(shù)k的取值范圍，則必然涉及關于k的高次無理不等式組，計算量太大。但若聯(lián)想到二次函數(shù)圖像，則問題即轉(zhuǎn)化為考察二次函數(shù)f（x）=kx-（2k+1）x+k 的圖像與x軸的兩個交點在什么情況下才各落在區(qū)間（-1，1）與（1，2）內(nèi)，數(shù)形結(jié)合便可得到較為簡便的解法。

圖2

解：聯(lián)想到二次函數(shù)f（x）=kx-（2k+1）x+k 的圖像（如圖2），那么原條件即f（-1）f（1）＜0，并且f（1）f（2）＜0，即（2k+2k+1）（2k-2k-1）＜0，并且（2k-2k-1）（5k-4k-2）＜0，

∴＜k＜，或＜k＜。

例3：試證明，+≥對于一切實數(shù)X成立。

分析：本題若純粹從不等式的角度去考察，會感到無從下手。但若從函數(shù)或形的角度去考察，則問題就容易多了。設f（x）=+，顯然函數(shù)的定義域是實數(shù)集合R，于是只要證明函數(shù)的最小值是或者求出函數(shù)的值域是［，+∞）即可，因此可以利用導數(shù)知識求解。若從形的角度去考察，將原式變形為+可知，原不等式左邊表示平面上動點P（x，0）到兩定點A（-3，±2），B（5，±3）的距離之和，數(shù)形結(jié)合便可輕松求解。

證明：+=+表示動點P（x，0）到兩定點A（-3，±2），B（5，±3）的距離之和（如圖3），數(shù)形結(jié)合便知當動點P運動到兩點A′（-3，-2）、B（5，3）聯(lián)結(jié)線與x軸交點重合時，點P′（x，0）到兩定點A（-3，±2），B（5，±3）的距離之和取得最小值，即A′、B兩點的距離。

∴+≥對于一切實數(shù)X成立。

另證：設f（x）=+，則顯然x∈R。

∵f′（x）=（）′+（）′=+，

令f′（x）=0，得（x+3）=（5-x） ，化簡得5x+94x-19=0，

∴x=（x=-19是增根），從而R被分成兩個區(qū)間（-∞，），（，+∞），

易知當x∈（-∞，）時f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)；當x∈（，+∞）時f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)。

∴f（x）在x=時取得最小值。

∴+≥對于一切實數(shù)X成立。

例4：①已知對于一切實數(shù)x都有k≤|x+2|+|x-2|+|x-4|成立，求實數(shù)k的最大值。

②x，y是任意實數(shù)，求u=|x+2|+|x-y|+|y-5|的最小值。

③n是大于1的自然數(shù)，求|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-（2n+1）|的最小值。（2006年高考選擇題最后一題取n=19而成）

分析：這一組題都涉及若干個絕對值的和的問題，通常方法是分段把絕對值符號去掉化為分段函數(shù)來解決。對于①可用這種方法解決，但對于②用這種方法就涉及多元函數(shù)問題，而且兩個變量不便于分段，對于③就要把實數(shù)集合分成2n+3段來討論，問題較為復雜。但從形的角度考慮，這三個問題都可以理解為數(shù)軸上的動點到若干個定點的距離之和，這樣問題就容易解決了。

①解：∵|x+2|+|x-2|+|x-4|即數(shù)軸上的動點P（x）到三個定點A（-2）、B（2）、C（4）距離之和（如圖4），當且僅當點P與點B重合時|x+2|+|x-2|+|x-4|取得最小值6，因此，只要k≤6則k≤|x+2|+|x-2|+|x-4|?！鄈=6就是所求的最大值。

圖4

②解：|x+2|+|x-y|+|y-5|即數(shù)軸上的兩個動點P（x）、Q（y）與兩個定點A（-2）、B（5）中P與A、P與Q、Q與B三段距離之和，數(shù)形結(jié)合易知，當-2≤x≤y≤5時u=|x+2|+|x-y|+|y-5|取得最小值7。

③解：|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-（2n+1）|即數(shù)軸上的動點P（x）到2n+1個定點A（1）、A（2）、A（3）、…、A（2n+1）個定點的距離之和，數(shù)形結(jié)合易知當且僅當動點P（x）與定點A（n+1）重合時|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-（2n+1）|取得最小值2（1+2+3+…+n）=n（n+1）。

注意：若干個絕對值的和與差問題分段去絕對值符號化為分段函數(shù)是最根本的方法。

例5：已知f（x）是定義在實數(shù)集合R上以2為周期的周期函數(shù)，對于k∈Z，用I表示區(qū)間（2k-1，2k+1］，若x∈I時f（x）=x。①求f（x）在I上的解析表達式；②當k∈N時，求集合M=a使方程f（x）ax在x∈I上有兩個不等實數(shù)根。

圖5

分析：根據(jù)周期函數(shù)的圖像具有重復出現(xiàn)的特點，本題宜用數(shù)形結(jié)合的方法求解。

解：f（x）是以2為周期的周期函數(shù)，并且當x∈I時f（x）=x（一段拋物線），因此，f（x）在實數(shù)集合上的圖像就是將拋物線段y=x（-1＜x≤1）向左右兩個單位兩個單位的平行移動并且無限延展聯(lián)結(jié)而成（如圖5）。當x∈I時f（x）的圖像就是將拋物線段y=x（-1＜x≤1）的頂點平行移動到點O′（2k，0）而得圖像。

所以①f（x）=（x-2k），x∈I=（2k-1，2k+1］，k∈Z。

②方程f（x）=ax在x∈I上有兩個不等實數(shù)根，即兩曲線y=ax與y=（x-2k），x∈I=（2k-1，2k+1］有兩個不同的交點，由圖像易知當直線l：y=ax夾在x軸（y=0）與直線L：y=之間（包括L）時兩曲線必定有兩個不同的交點。

這時0＜a≤，k∈N?！郙=a0＜a≤，k∈N為所求。例6：①當實數(shù)m為何值時，關于x的方程lg（-x+3x-m）=lg（3-x）有且只有一個根？

②當實數(shù)k為何值時，關于x的方程log（x-ka）=log（x-a）（a＞0且a≠1）有解？并求出這個解。

圖6

①解：lg（-x+3x-m）=lg（3-x）?圳（-x+3x-m）=（3-x）＞0?圳（x-2）=1-m，x∈A=（-∞，3）。在同一坐標系下作出y=（x-2），x∈A與y=1-m的圖像（如圖6）可知，當1-m=0或1-m≥1原方程只有一個實根。

所以，m∈（-∞，0］∪{1}為所求。（m為何值時方程有二不等實根？）

圖7

②解：log（x-ka）=log（x-a）?圳x-ka=＞0，a＞0且a≠1。原方程有解即兩曲線y=（y＞0），y= x-ka有交點。而y=（y＞0）即x-y=a（y＞0），數(shù)形結(jié)合（如圖7）得：當k＜-1或0＜k＜1時兩曲線有交點即原方程有解。再求交點的橫坐標，由x-ka=得x=a為原方程的解。

另解：log=（x-ka）=log（x-a）（a＞0且a≠1）?圳x-ka=x-ka＞0且x-a＞0?圳x=a＞ka且（a）＞a，a＞0，

∴k（k+1）（k-1）＜0且（k-1）＞0，

即k∈（-∞，-1）∪（0，1）時方程有解x=a。

例7：解關于x的不等式＜x-a。

圖8

解：＜x-a的解就是曲線y=位于曲線y= x-a下方那段曲線所對應的橫坐標x的取值范圍。而y=即（x-1）-y（y≥0），數(shù)形結(jié)合（如圖8）得：

當a＜0時，x∈，0 ∪［2，+∞）為原不等式的解集；

當0≤a≤1時，x∈［2，+∞）為原不等式的解集；

當1＜a＜2時，x∈ 2，為原不等式的解集；

當a≥2時，原不等式的解為空集?覬。

備注：交點處橫坐標x由= x-a得x=。