摘 要： 本文作者根據(jù)教學(xué)實踐，對三角函數(shù)常見的特殊角三角函數(shù)值的記憶方法進(jìn)行了研究。

關(guān)鍵詞： 特殊角三角函數(shù)值 數(shù)形結(jié)合 函數(shù)圖像 函數(shù)單調(diào)性

高一下學(xué)期一開始，教學(xué)內(nèi)容就進(jìn)入了三角函數(shù)。這一節(jié)公式很多，需要記憶的東西很多，但是只要學(xué)生能夠每天定時定量地練習(xí)題目，公式自然能夠熟練應(yīng)用，而且爛熟于心。而且學(xué)生本身對公式也比較重視，因為公式的各種靈活運(yùn)用，能夠激發(fā)學(xué)生的興趣。他們做完一道題目之后，會互相討論，看還有沒有其他方法。這源于筆者平時在教學(xué)過程中不斷地鼓勵學(xué)生去思考、去總結(jié)，不但要學(xué)會，而且要會學(xué)；把新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)的“提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力和探究學(xué)習(xí)能力”這一思想。盡管公式學(xué)生已經(jīng)很熟悉了，但是仍有學(xué)生會在三角函數(shù)的題目上卡住。為什么呢？因為這一節(jié)還出現(xiàn)了大量的特殊角，如30°，45°，120°，甚至還有75°。學(xué)生覺得特殊角不如公式靈活，只能去死記硬背。因為對特殊角不熟悉，導(dǎo)致他們看到，卻不知道這就是tan60°；看到cos120°，還要苦想該用哪個誘導(dǎo)公式來誘導(dǎo)。雖然他們不止一次地體會到特殊角的重要性，但是他們?nèi)圆荒芙邮苡脖尺@樣傳統(tǒng)的學(xué)習(xí)方法。隨著高一課程的結(jié)束，高二的解析幾何、立體幾何中仍舊會出現(xiàn)這些特殊角?，F(xiàn)在學(xué)生若是沒有記住，到了高二的時候怎么辦？

針對這個問題，筆者查閱了很多資料，大概是這個問題基本都是靠硬背來解決，因此所能找到的資料甚少。一個偶然的機(jī)會，筆者看到學(xué)生在算sin30°的時候，畫了一個30°的直角三角形，很顯然這個方法不能解決sin210°，但是筆者還是表揚(yáng)了這個學(xué)生，因為他在想辦法解決問題。這個發(fā)現(xiàn)使筆者體會到，通過高一上函數(shù)部分的強(qiáng)化，學(xué)生現(xiàn)在已經(jīng)有了畫圖解決問題的思想，能不能用數(shù)形結(jié)合的辦法來解決這個一直讓學(xué)生比較頭痛的問題呢？其實學(xué)生在特殊角這部分暴露的問題很明顯，對［0，90°］范圍內(nèi)的角度接觸時間較久，比較熟悉，只是對高中階段才推廣的“大”角比較陌生。通過跟學(xué)生共同探討，筆者發(fā)現(xiàn)以下幾個方法比較適用。

一、利用三角函數(shù)圖像

y=sinx， y=cosx， y=tanx的圖像，在教材里面有三節(jié)內(nèi)容，對它們的圖像和性質(zhì)研究是三角函數(shù)部分的重點內(nèi)容。因此，若學(xué)生產(chǎn)能夠畫出它們的圖像，不要說cos150°，哪怕是sin225°，或者是更大的角，也能夠一眼看出。但這種方法的前提條件是，學(xué)生必須得記住這三個三角函數(shù)圖像。

二、 利用直角坐標(biāo)系

以sin225°為例，在平面直角坐標(biāo)系中，畫出225°所在的終邊，再做出它的延長線，這樣在第一象限內(nèi)就出現(xiàn)了一個以它的延長線為終邊的角，而此時學(xué)生就可選取非常熟悉的45°為此延長線的代表角。接下來做的事情，只需在延長線上取點P（x，y）。由圖像可知，兩線關(guān)于原點對稱，故此，兩線上的點的縱橫坐標(biāo)均互為相反數(shù)，則在原線上可以作出P點關(guān)于原點的對稱點P′（x，y），由任意角三角函數(shù)的定義即可得出sin225°==- =- sin45°=- 。通過剛才的推導(dǎo)過程，也可以得出這樣的結(jié)論：若兩角的終邊關(guān)于原點對稱，則它們的正弦值（或余弦值）互為相反數(shù)。這個結(jié)論的得出，讓學(xué)生知道了第三象限的角與他們熟悉的［0，90°］的角的關(guān)系，自然他們想到了第二象限和第四象限。

通過剛才的推導(dǎo)可知：若兩角終邊關(guān)于y軸對稱，則它們的余弦值互為相反數(shù)，正弦值相等。從另一個方面來看，這兩個角為互補(bǔ)的關(guān)系，所以剛才得出的結(jié)論也可敘述為：互補(bǔ)的兩角正弦值相等，余弦值相反。第四象限的角推導(dǎo)過程與上述過程類似。通過作出其關(guān)于x軸的對稱軸可知：若兩角終邊關(guān)于x軸對稱，則它們的余弦值相等，正弦值互為相反數(shù)。

綜上可知，若要解決特殊角的三角函數(shù)值，只需要在坐標(biāo)系中，畫出它的終邊所在的位置，通過做它關(guān)于原點（或x軸、或y軸）對稱線，找出第一象限我們非常熟悉的角，判斷出符號即可。

三、利用函數(shù)單調(diào)性

對于某些連［0，90°］都記不住的學(xué)生，除了用本文一開始提出的畫特殊三角形以外，還可以利用三角函數(shù)本身的單調(diào)性。由于特殊角的三角函數(shù)值只有幾個數(shù)值：0，，，，1，聯(lián)系y=sinx在［0，90°］內(nèi)單調(diào)遞增，故對號入座，sin0°=0，sin30°=，sin45°=，sin60°=，sin90°=1，相應(yīng)余弦值則可通過直角三角形里得出的結(jié)論，互余的兩角正余弦值互換得到。對于數(shù)值比較麻煩的15°和75°，我們可以通過構(gòu)造成兩角和或兩角差的方法，快速算出它們對應(yīng)的三角函數(shù)值。

筆者提出了這幾個方法后，很多學(xué)生都不再覺得特殊角三角函數(shù)值很難背了。究其原因，是在筆者提出的方法的基礎(chǔ)上，他們非常熟練地運(yùn)用函數(shù)圖像、函數(shù)單調(diào)性等函數(shù)知識。這些方法中所涉及的數(shù)形結(jié)合思想，鍛煉了他們的數(shù)學(xué)思維能力，記憶的過程也成為了他們思考問題的過程。學(xué)生覺得學(xué)有所得，學(xué)有所用，這些特殊角三角函數(shù)值的記憶過程不再是枯燥無趣的幾個數(shù)字，而是生動形象的圖像、函數(shù)知識。而且，在這一過程中所涉及的數(shù)形結(jié)合方法，其本身就是高中數(shù)學(xué)階段重要方法之一。

參考文獻(xiàn)：

［1］劉瑞華.數(shù)學(xué)教師從哪兒入手指導(dǎo)學(xué)生“會學(xué)”.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2009，4，中旬.