在數(shù)學(xué)教學(xué)中教師既要使學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，又要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力?！皵?shù)學(xué)能力的核心是數(shù)學(xué)思維能力”，由于數(shù)學(xué)思維的能力取決于數(shù)學(xué)思維的品質(zhì)，故培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)是數(shù)學(xué)的一項(xiàng)重要任務(wù)。因?yàn)檎n本是教師的主要依據(jù)，所以我注意深鉆教材，充分發(fā)揮教材潛在的智能功能，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

整體思想是一種基本的數(shù)學(xué)思想，它是將問(wèn)題看成一個(gè)完整的整體，通過(guò)研究問(wèn)題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)，在對(duì)整體處理后迅速而簡(jiǎn)便地解決問(wèn)題。我注意充分挖掘教材中的整體因素，逐步介紹整體思維的方法和技巧，提高學(xué)生運(yùn)用整體思維解答問(wèn)題的能力。例如:“直平行六面體的底面是菱形，過(guò)不相鄰的兩對(duì)側(cè)棱的截面的面積是Q■和Q■，求它的側(cè)面積。”我在分析中指出，由于S■=4αh，而由條件不易分別求出α、h，但將αh作為一整體，則容易求出，這就是用整體代換來(lái)解決問(wèn)題。例如:“求cos40°cos80°+cos80°cos160°+cos160°cos40°的值。”我引導(dǎo)學(xué)生用整體改造的辦法去求:令X=cos40°cos80°+cos80°cos160°+cos160°cos40°，Y=sin40°sin80°+sin80°sin160°+sin160°sin40°，則可得方程組:

X+Y=-■+cos20°X-Y=-■-cos20°，

解此方程組，即可求出X。

學(xué)生對(duì)于數(shù)形結(jié)合的思想并不陌生，但他們雖能夠用“數(shù)的觀點(diǎn)”去解答“形的問(wèn)題”，卻不會(huì)用“幾何圖形”去解決“數(shù)的問(wèn)題”，我在教學(xué)中注意加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練。如講了斜率公式和直線的方程后，讓學(xué)生重新證明“已知asin(θ+α)=bsin(θ+β)，求證:tgθ=■。”他們先觀察要證的等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，很快發(fā)現(xiàn)和斜率公式類似，于是想到利用斜率公式證明，進(jìn)而想到要證明點(diǎn)(acosα，bsinβ)、(bcosβ，asinα)在一條斜率為tgβ的直線上。我引導(dǎo)學(xué)生將已知等式展開(kāi)，并令其值為C，得:

asinθcosα+acosθsinα=bsinθcosβ+bcosθsinβ=c

由上式得出兩個(gè)等式:

acosαsinθ-bsinβcosθ-c=0bcosβsinθ-asinαcosθ-c=0

他們從這兩個(gè)等式看出點(diǎn)(acosα，bsinβ)、(bcosβ，asinα)都在直線Xsinθ-Ycosθ-c=0上。至此，學(xué)生找出了用幾何圖形解決代數(shù)問(wèn)題的途徑。

2.發(fā)展求異思維，鼓勵(lì)創(chuàng)新精神。

求異思維是根據(jù)一定的知識(shí)或事實(shí)求得某一問(wèn)題的各種可能答案的思維，它在思維的創(chuàng)造性中起著主導(dǎo)作用。我注意充分挖掘教材中的求異因素，尊重學(xué)生的獨(dú)創(chuàng)見(jiàn)解，鼓勵(lì)他們探索創(chuàng)新。例如“用兩種方法證明:三點(diǎn)A(-2，12)、B(1，3)、C(4，6)在同一條直線上?！边@道題雖然簡(jiǎn)單，但包含求異因素。我利用它開(kāi)展“多解競(jìng)賽活動(dòng)”，要求學(xué)生互不討論，盡自己的能力找出多種解法。他們從不同角度，不同的方面去分析，找出了九種解法:(1)證明|AB|+|BC|=|AC|;(2)證明點(diǎn)B在直線AC上;(3)證明直線AB、AC的夾角是0;(4)證明∠ABC=π;(5)證明直線AB、AC的方程相同;(6)證明點(diǎn)C到直線AB的距離等于0;(7)證明直線AB、AC的斜率相同;(8)證明△ABC的面積等于0;(9)證明點(diǎn)B是有向線段AC的一個(gè)定比分點(diǎn)。這些證法充分體現(xiàn)了學(xué)生的創(chuàng)新精神，我在講評(píng)時(shí)大加贊揚(yáng)，并使他們認(rèn)識(shí)到即使一道簡(jiǎn)單題，只要深入鉆研，也會(huì)獲得很大收益。

3.將原有問(wèn)題開(kāi)拓引申，擴(kuò)大學(xué)生創(chuàng)造性思維活動(dòng)的領(lǐng)域。

我經(jīng)常將教材上的一些例題、習(xí)題的條件或結(jié)論開(kāi)拓引伸，得出一系列具有一定深度的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生深入鉆研，使他們的創(chuàng)造性思維活動(dòng)范圍更加廣泛。

例如:平面內(nèi)幾條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過(guò)同一點(diǎn)，證明交點(diǎn)的個(gè)數(shù)F(n)=■n(n-1)。這是一道用數(shù)學(xué)歸納法證明的例題，我講完這種證法后，編擬了下面六道題，讓學(xué)生進(jìn)行思考:

(1)平面內(nèi)有n條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過(guò)同一點(diǎn)，試求它們交點(diǎn)的個(gè)數(shù)F(n)。

(2)平面內(nèi)有n條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過(guò)同一點(diǎn)，試求它們把平面分成的塊數(shù)S(n)。

(3)空間內(nèi)有n個(gè)平面，其中任何兩個(gè)不平行，任何三個(gè)不過(guò)同一條直線，試求它們交線的條數(shù)F(n)。

(4)空間內(nèi)有n個(gè)平面，其中任何兩個(gè)不平行，任何三個(gè)不過(guò)同一條直線，試求它們把空間分成的部分?jǐn)?shù)S(n)。

(5)平面內(nèi)有n個(gè)圓，其中任何兩個(gè)都相交，任何三個(gè)不過(guò)同一點(diǎn)，試求它們交點(diǎn)的個(gè)數(shù)P(n)。

(6)平面內(nèi)有n個(gè)圓最多將平面分成多少個(gè)部分?

其中(1)是引導(dǎo)學(xué)生追溯原題的結(jié)論來(lái)源，掌握找交點(diǎn)的規(guī)律;(2)是引導(dǎo)學(xué)生將(1)得出的找交點(diǎn)方法引伸發(fā)展;(3)和(4)是使學(xué)生通過(guò)類比聯(lián)想，將二維空間問(wèn)題向三維空間推廣;(5)和(6)是使學(xué)生在新問(wèn)題情境中，創(chuàng)造性地運(yùn)用已掌握的方法。

又如在學(xué)生解答:“已知a、b、c∈R■，求證:(■+■+■)(■+■+■)≥9”后，我繼續(xù)讓他們解答下面的題目:

(1)已知X，Y，Z∈R■，求證:(X+Y+Z)(■+■+■)≥9。

(2)已知X，Y，Z∈R■，(X+Y+Z)=1，求證:(■+■+■)≥9。

(3)已知X，Y，Z∈R■，求證:(■+■+■)≥■。

(4)已知X，Y，Z∈R■，且X+Y+Z=1，(3)中的結(jié)論有何變化?還能得一些怎樣的不等式?

(5)在△ABC中，求證:(■+■+■)≥■。

(6)已知X■∈R■(i=1，2…n)，求證:(X■+X■+…+X■)(■+■+…+■)≥n■

在這組題中，(1)是原題的直接變形，式子簡(jiǎn)單明了，便于掌握和應(yīng)用;(2)是加強(qiáng)(1)的條件，得出新的結(jié)論;(3)是靈活加強(qiáng)(1)進(jìn)行證明;(4)是加強(qiáng)(3)中的條件，研究結(jié)論的變化;(5)是(1)在幾何中的應(yīng)用;(6)是(1)的一般變化。通過(guò)改變?cè)}的條件和結(jié)論，得出的這組題，脈絡(luò)清晰、關(guān)系密切、思路流暢、規(guī)律性強(qiáng)，有利于學(xué)生發(fā)揮創(chuàng)造性的思維。

四、引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題后的回顧，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的批判性

引導(dǎo)學(xué)生在解題后進(jìn)行回顧、總結(jié)，研究解題過(guò)程，能培養(yǎng)他們?cè)谒季S活動(dòng)中，善于嚴(yán)格地估計(jì)思維材料和精細(xì)地檢查思維過(guò)程的能力，這就培養(yǎng)了他們數(shù)學(xué)思維的批判性。

1.引導(dǎo)學(xué)生評(píng)價(jià)解題思路、方法，選擇最佳解法。

在批改作業(yè)時(shí)，我收集了學(xué)生解答“過(guò)點(diǎn)A(0，■)向圓X■+Y■=5引兩條切線，求它們的方程”所用的三種解法:(1)設(shè)切線方程為Y-■=KX，先利用判別式求K，再求切線的方程;(2)設(shè)切線方程為Y-■=KX，先利用圓心到切線的距離等于圓的半徑求K，再求切線方程;(3)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(X■，Y■)，則切線方程為X■X+Y■Y=5，由點(diǎn)(0，■)在切線上和點(diǎn)(X■，Y■)在圓上得方程組■y■=5x■■+Y■■=5，解此方程組，求出X■，Y■，再求切線方程。為了比較這三種解法，我再出了下列兩道題讓學(xué)生解答:

(1)過(guò)點(diǎn)B(■，1)向圓X■+Y■=5引兩條切線，求它們的方程。

(2)過(guò)點(diǎn)C(4，5)向圓(X-1)■+(Y-2)■=5引兩條切線，求它們的方程。

然后引導(dǎo)學(xué)生對(duì)上述三種解法進(jìn)行比較，他們發(fā)現(xiàn):對(duì)于求圓心在任意位置的圓的切線方程，一般考慮用第(1)、(2)兩種解法，但這兩種解法只能求出和X軸不垂直的切線方程。求圓心在原點(diǎn)的圓的切線方程，一般用第(3)種解法，當(dāng)圓心不在原點(diǎn)時(shí)，用第(3)種解法求切線方程時(shí)，運(yùn)算量大。

經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生評(píng)價(jià)解題思路、方法，能使他們善于調(diào)整思路，尋求最佳途徑，簡(jiǎn)化解題過(guò)程。

2.引導(dǎo)學(xué)生更全面、更深刻地理解問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)帶規(guī)律性的結(jié)論。

學(xué)生解答“化簡(jiǎn)(1)sin(α-β)cosβ+cos(α-β)sinβ;(2)cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ;(3)cos(36°+X)+cos(54°-X)-sin(36°+X)sin(54°-X);(4)sin(70°+α)+cos(10°+α)-cos(70°+α)sin(110°-α)”后，我請(qǐng)他們談解題后的體會(huì)。學(xué)生的普遍認(rèn)識(shí)是:逆用公式，把一個(gè)“長(zhǎng)式子”化成一個(gè)“短式子”，使函數(shù)式簡(jiǎn)化了。我肯定這些認(rèn)識(shí)是正確的，進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生“逆向”研究化簡(jiǎn)過(guò)程，能看得出一些什么規(guī)律?大家通過(guò)仔細(xì)觀察后發(fā)現(xiàn)α=α-β+β=α+β-β，90°=(36°+X)+(54°-X)，60°=(70°+a)-(10°+a)，我因勢(shì)利導(dǎo)，要求學(xué)生設(shè)計(jì)2α、3α、α+2β的變形，掌握角的變換方法，以后就能簡(jiǎn)潔地證明。

通過(guò)長(zhǎng)期的教學(xué)實(shí)踐，我深刻地認(rèn)識(shí)到:在講授新課時(shí)，充分發(fā)揮教材的作用，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，能促使學(xué)生重視雙基，善于思考。