羅 萍 張翠花

【摘要】本文采用對(duì)立統(tǒng)一的教學(xué)方法,強(qiáng)調(diào)了高等數(shù)學(xué)中不定積分與定積分既對(duì)立又統(tǒng)一的兩個(gè)方面,以期提高積分學(xué)的課堂教學(xué)效率,為學(xué)習(xí)積分學(xué)的學(xué)生提供幫助與借鑒。

【關(guān)鍵詞】積分學(xué)不定積分定積分

積分學(xué)中有兩個(gè)重要的基本概念:不定積分和定積分。能否正確地理解這兩個(gè)概念是能否學(xué)好積分學(xué)的關(guān)鍵。由于這兩個(gè)概念名稱相近,容易讓人混淆,所以在課堂教學(xué)過(guò)程中,我們嘗試采用對(duì)立統(tǒng)一法,使學(xué)生較好地掌握這兩個(gè)概念,取得了良好的教學(xué)效果。

首先,在教學(xué)過(guò)程中,我們特別強(qiáng)調(diào)不定積分和定積分這二者對(duì)立的一面。他們的不同之處在于:

第一,定義不同。(1)不定積分的定義:如果F(x)是f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù),則稱f(x)的所有原函數(shù)F(x)+C為f(x)在I上的不定積分。記作∫f(x)d(x)=F(x)+c。(2).定積分的定義:設(shè)f(x)是定義在區(qū)間[a,b]上的有界函數(shù),用分點(diǎn)a=x₀∠_x1∠...∠_n=∠將區(qū)間[a,b]分成n個(gè)小區(qū)間[x_i-1,x_i](i=1,2,…,n),其長(zhǎng)度為△x_i=x_i-x_i-1,在每個(gè)區(qū)間[x_i-1,x_i]上任取一點(diǎn)ξ(x_i-1≤ξ_i≤x_i),則乘積f(ξ_i)△x_i(i=1,2,...,n)稱為積分元素,總和S_nf(ξ_i)△x_i稱為積分和。當(dāng)n無(wú)限增大,而△x_i中最大者△x→0(△x=max{△x_i})時(shí),總和S_n的極限存在,且此極限與[a,b]的分法以及點(diǎn)ξ_i的取法無(wú)關(guān),則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上是可積的,并將此即限值稱為函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的定積分,記為:

由定義可知,不定積分的實(shí)質(zhì)是被積函數(shù)的全體原函數(shù)的總稱,即不定積分是函數(shù);而定積分是和式極限,實(shí)質(zhì)上是數(shù)值。這是兩者在定義上的區(qū)別。

第二,記號(hào)不同。不定積分通常用∫f(x)d(x)表示;而定積分記為∫^b_af(x)dx。顯然,不定積分無(wú)積分上下限,而定積分必須有積分上下限。

第三,求不定積分與求定積分的任務(wù)不同。

求函數(shù)f(x)的不定積分,其任務(wù)是求f(x)的所有原函數(shù)。通常是運(yùn)用不定積分的基本公式及換元法、分部積分法等求出f(x)的一個(gè)原函數(shù)F(x),則不定積分∫f(x)d(x)=F(x)+C。定積分的任務(wù)卻側(cè)重于運(yùn)用不定積分的知識(shí)(這是兩者統(tǒng)一之處,后面有詳述)求出一個(gè)值來(lái)。

第四,幾何意義不同。

不定積分∫f(x)d(x)=F(x)+C中含有任意常數(shù)C,因此,對(duì)于每一個(gè)給定的C,都有一個(gè)確定的原函數(shù)。在幾何上相應(yīng)地就有一條確定的曲線,稱為f(x)的積分曲線。因?yàn)镃可以取任意值,因此,不定積分表示f(x)的一簇積分曲線。而函數(shù)f(x)正是積分曲線在x點(diǎn)處的斜率。由于積分曲線簇的每一條曲線,對(duì)應(yīng)于同一橫坐標(biāo)x=x0的點(diǎn)處有相同的斜率,所以對(duì)應(yīng)于這些點(diǎn)處,它們的切線互相平行,任意兩條曲線的縱坐標(biāo)之間相差一個(gè)常數(shù),所以積分曲線簇y=F(x)+C中每一條曲線都可以由曲線y=F(x)沿y軸方向上、下移動(dòng)而得到,如圖1所示。

而定積分∫^b_af(x)dx的幾何意義是:當(dāng)在區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)f(x)≥0時(shí),∫^b_af(x)dx表示y=f(x), x=a,x=b及x軸所圍成的區(qū)邊梯形的面積;而f(x)≤0時(shí),這時(shí)的∫^b_af(x)dx表示y=f(x),x=a,x=b及x軸所圍成的區(qū)邊梯形面積的負(fù)值;如果f(x)在[a,b]上既有正值又有負(fù)值,此時(shí),∫^b_af(x)dx表示y=f(x),x=a,x=b及x軸所圍成的圖形中,位于x軸上方的面積之和減去位于x軸下方圖形的面積之和,如圖2所示。お

由上可知,不定積分和定積分確實(shí)是兩個(gè)完全不同的概念。

然而,世界上的一切事物都包含著既相互對(duì)立又相互統(tǒng)一的兩個(gè)方面,不定積分和定積分雖然有以上諸多不同之處,但二者名稱僅差一個(gè)“不”字,是否它們之間存在必然的內(nèi)在聯(lián)系呢?答案是肯定的。

不定積分和定積分確實(shí)有統(tǒng)一的一面,聯(lián)系它們的橋梁是牛頓萊布尼茲公式。牛頓萊布尼茲公式告訴我們:若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),且F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù),則∫^b_af(x)dx=F(b)-F(a)。由此公式可知,要求定積分∫^b_af(x)dx的值,只要求出f(x)在[a,b]上的一個(gè)原函數(shù)F(x),并計(jì)算出F(x)從端點(diǎn)a到端點(diǎn)b的改變量F(b)-F(a)即可。

因此,定積分與原函數(shù)有了聯(lián)系。而求原函數(shù)正是不定積分的任務(wù),所以要計(jì)算出定積分的值,先得求出不定積分,從這個(gè)意義上來(lái)說(shuō),不定積分是定積分的基礎(chǔ),定積分是不定積分的應(yīng)用,這就是它們統(tǒng)一的一面。