李偉賢 侯亞林

中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱(試驗(yàn)修訂本)將培養(yǎng)學(xué)生的三大能力之一“邏輯思維能力”改為“思維能力” ,雖然只是去掉兩個(gè)字,概念的內(nèi)涵卻更加豐富,人們?cè)诮逃龑?shí)踐中實(shí)現(xiàn)了認(rèn)識(shí)上的轉(zhuǎn)變。在注重邏輯思維能力培養(yǎng)的同時(shí),還應(yīng)該注重觀察力、直覺力、想象力的培養(yǎng)。特別是由于直覺思維能力的培養(yǎng),長(zhǎng)期得不到重視,學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中對(duì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)容易造成誤解,認(rèn)為數(shù)學(xué)是枯燥乏味的;同時(shí)對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)也缺乏取得成功的必要的信心,從而喪失數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。

因此,我們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)中要重視并加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)直覺思維能力的訓(xùn)練,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維習(xí)慣和直覺思維能力以適應(yīng)新時(shí)期社會(huì)對(duì)人才的需要。本文概括了數(shù)學(xué)直覺思維的涵義、表現(xiàn)形式、特征及其對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和教學(xué)的意義,結(jié)合自己的學(xué)習(xí)實(shí)踐以及有關(guān)學(xué)習(xí)理論和教學(xué)理論,對(duì)數(shù)學(xué)直覺思維的培養(yǎng)途徑進(jìn)行了初步探討,并指出了直覺思維的局限,希望能為直覺思維在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中作用的進(jìn)一步研究提供一點(diǎn)參考。

一、數(shù)學(xué)直覺思維概念的界定

(一)數(shù)學(xué)直覺思維概念

在日常的數(shù)學(xué)教學(xué)中,我們常常會(huì)遇到這樣的情形:在課堂上題目剛剛寫完,老師還沒來得及解釋題意,有的同學(xué)立刻報(bào)出了答案。若進(jìn)一步問他為什么?他說不出思維過程,此時(shí)其他同學(xué)會(huì)笑他瞎猜。這種現(xiàn)象就是數(shù)學(xué)直覺思維。這種思維活動(dòng)不同于一般的邏輯思維推理,這種覺察往往是“知其然而不知其所以然”,盡管判斷的結(jié)論往往是正確的,卻不能馬上說出理由和依據(jù)。我們把這種具有意識(shí)的人腦對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象(結(jié)構(gòu)及其關(guān)系)的敏銳的想象和迅速的判斷稱之為數(shù)學(xué)直覺思維。

簡(jiǎn)單地說,數(shù)學(xué)直覺思維是具有意識(shí)的人腦對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象(結(jié)構(gòu)及其關(guān)系)的某種直接的領(lǐng)悟和洞察。它沒有明顯的根據(jù)和思索的步驟,思維者很難陳述思維的出現(xiàn)過程及證明過程。

(二)數(shù)學(xué)直覺思維和邏輯思維關(guān)系

從思維方式上來看,思維可以分為邏輯思維和直覺思維。長(zhǎng)期以來人們刻意的把兩者分離開來,其實(shí)這是一種誤解,邏輯思維與直覺思維從來就不是割離的。有一種觀點(diǎn)認(rèn)為邏輯重于演繹,而直觀重于分析,從側(cè)重角度來看,此話不無道理,但側(cè)重并不等于完全,數(shù)學(xué)邏輯中是否會(huì)有直覺成分?數(shù)學(xué)直覺是否具有邏輯性?比如在日常生活中有許多說不清道不明的東西,人們對(duì)各種事件作出判斷與猜想離不開直覺,甚至可以說直覺無時(shí)無刻不在起作用。數(shù)學(xué)也是對(duì)客觀世界的反映,它是人們對(duì)生活現(xiàn)象與世界運(yùn)行的秩序直覺的體現(xiàn),再以數(shù)學(xué)的形式將思考的理性過程格式化。數(shù)學(xué)最初的概念都是基于直覺,數(shù)學(xué)在一定程度上就是在問題解決中得到發(fā)展,問題解決也離不開直覺,下面我們就以數(shù)學(xué)問題的證明為例,來考察直覺在證明過程中所起的作用。

二、數(shù)學(xué)直覺思維在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用

由于直覺思維具有上述這些其他思維方式無法比擬的特點(diǎn),使它在人的認(rèn)識(shí)活動(dòng)中具有重要作用。

(一)在數(shù)學(xué)理解中的作用

數(shù)學(xué)理解包括理解數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)結(jié)論的本質(zhì),人們常憑借經(jīng)驗(yàn),加上直覺思維的輔助作用,在頭腦中構(gòu)造圖景和模型,以達(dá)到對(duì)概念、結(jié)論的理解。

所有數(shù)學(xué)定理都需要經(jīng)過嚴(yán)格的推理證明,可是只有在借助于直覺思維進(jìn)行感悟后,才能成為顯然的、直觀的數(shù)學(xué)事實(shí)。

(二)在數(shù)學(xué)問題解決中的作用

普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)明確要求:提高學(xué)生數(shù)學(xué)解決問題的能力。數(shù)學(xué)直覺思維在問題解決中有重要的作用,我們面臨的要解決的許多數(shù)學(xué)問題,大都是不熟的,剛一接觸,首先看到或想到的只是它的直觀形象與個(gè)別特征,如圖形、式子或其含義的直觀類比,利用直觀模型和空間圖形對(duì)它進(jìn)行直覺的思考,從數(shù)與形的直覺感知中得到某種猜想,然后再進(jìn)行邏輯證明。

1、觀察全局

由于直覺思維是從整體上研究對(duì)象,因此可以提高學(xué)生全面把握問題的能力。教師在教學(xué)中只要有意識(shí)地安排一些思考性問題,讓學(xué)生仔細(xì)地審查問題條件的各個(gè)方面,從各個(gè)角度去揭示知識(shí)的內(nèi)容,就可以培養(yǎng)學(xué)生觀察全局的能力。從整體上把握事物的特性,通過這樣的訓(xùn)練,能不斷提高學(xué)生觀察全局的能力。

2、啟迪思路

解決數(shù)學(xué)問題常常會(huì)遇到難題,常規(guī)的解題方法多次嘗試后不得其解或分析思路阻塞、中斷時(shí),直覺思維常常能突發(fā)其想,啟迪新思路。

布魯納說過: “直覺思維者甚至可以發(fā)明或發(fā)現(xiàn)分析家所不能發(fā)現(xiàn)的問題?！敝庇X思維與分析思維不同, 分析思維步驟明顯,一次前進(jìn)一步,思維者常常能向別人講述思維過程。直覺思維不是以仔細(xì)的、規(guī)定好的步驟一步一步前進(jìn)的,而是以熟悉的知識(shí)結(jié)構(gòu)為依據(jù),采取跳躍、越級(jí)的“捷徑”很快作出“結(jié)論” 。教師要鼓勵(lì)學(xué)生用多種思維方式思考問題,提倡“算法多樣化”和“解題策略的多樣化”,以此培養(yǎng)與激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力。因在教學(xué)過程中,教師要善于抓住和發(fā)現(xiàn)學(xué)生瞬間的“直覺思維”火花,除了及時(shí)鼓勵(lì)與肯定之外,更應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生一起探究其直覺思維結(jié)果的正確性,并合理引導(dǎo)和努力拓展學(xué)生的巧思妙解,使學(xué)生敢于求異、善于創(chuàng)新。

三、數(shù)學(xué)直覺思維能力的培養(yǎng)

(一)夯實(shí)基礎(chǔ),豐富直覺思維源泉

任何數(shù)學(xué)直覺的產(chǎn)生和發(fā)展都離不開該領(lǐng)域的基礎(chǔ)知識(shí)。沒有一定的知識(shí)情景、知識(shí)結(jié)構(gòu)、認(rèn)知策略,單憑機(jī)遇是不能產(chǎn)生數(shù)學(xué)直覺的。有扎實(shí)而寬厚的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn),以及熟練的基本技能,經(jīng)過同化(順應(yīng))重構(gòu)等加工手段儲(chǔ)存在大腦信息網(wǎng)絡(luò)里的知識(shí)結(jié)構(gòu),是直覺思維產(chǎn)生的基礎(chǔ)。在教學(xué)過程中,應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能,加強(qiáng)思想方法的積累,儲(chǔ)存經(jīng)過處理的知識(shí)精華。如對(duì)數(shù)學(xué)概念、定理的本質(zhì)理解,對(duì)數(shù)學(xué)公式變換的多種形式,解決數(shù)學(xué)問題的思路,特殊的解題技巧等。以便學(xué)生在解決問題時(shí),能運(yùn)用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)與經(jīng)驗(yàn),通過對(duì)數(shù)學(xué)問題的觀察、分析,迅速而準(zhǔn)確地作出直覺判斷。

(二)感受數(shù)學(xué)美,激發(fā)直覺思維動(dòng)力

偉大的科學(xué)家龐加萊指出:“能夠作出數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的人,是具有感受數(shù)學(xué)中的秩序、和諧、對(duì)稱、整齊和神秘之美能力的人,而且只限于這種人”。數(shù)學(xué)美充滿了整個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域,而這些數(shù)學(xué)美是引起數(shù)學(xué)直覺的動(dòng)力,是產(chǎn)生數(shù)學(xué)直覺的重要條件。我們?cè)诮虒W(xué)實(shí)踐中應(yīng)充分展現(xiàn)數(shù)學(xué)美,挖掘數(shù)學(xué)美和創(chuàng)造數(shù)學(xué)美,激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)美的追求,提高他們對(duì)數(shù)學(xué)美的鑒賞能力,引導(dǎo)學(xué)生按照美的規(guī)律去想象、去判斷。

(三)培養(yǎng)敏銳的觀察能力

觀察是一種有目的、有計(jì)劃的比較持久的直覺,是知覺的特殊形式。它是處理復(fù)雜事物的感知活動(dòng),具有更大的主動(dòng)性和理解性。具有敏銳的洞察力,可以使學(xué)生更容易獲取外界的刺激,從而使?jié)撘庾R(shí)層面上的各種混沌無序的知識(shí),在一瞬間達(dá)到最恰當(dāng)?shù)慕M合,進(jìn)入顯意識(shí)狀態(tài),即直覺的產(chǎn)生。

1、利用形數(shù)結(jié)合,培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力

數(shù)學(xué)形象直感是數(shù)學(xué)直覺思維的源泉之一,而數(shù)學(xué)形象直感是一種幾何直覺或空間觀念的表現(xiàn)。俗話說:“數(shù)離形時(shí)少直觀,形離數(shù)時(shí)難入微” 。因此,在數(shù)學(xué)教學(xué)中,要引導(dǎo)學(xué)生通過深入的觀察、聯(lián)想,由形思數(shù)、由數(shù)輔形,借助圖形特征的啟示誘發(fā)直覺,對(duì)培養(yǎng)直覺思維的敏捷性、準(zhǔn)確性大有裨益。

著名數(shù)學(xué)家歐拉曾經(jīng)指出:“今天人們所知道的數(shù)的性質(zhì),幾乎都是由觀察所發(fā)現(xiàn)的,并且在嚴(yán)格論證確認(rèn)其真實(shí)性之前就發(fā)現(xiàn)了。”蘇聯(lián)教育學(xué)家蘇霍姆林斯基也說過:“觀察是智慧最重要的能源” 。由此可見,觀察發(fā)現(xiàn)對(duì)培養(yǎng)直覺思維所起的作用。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中,要充分利用形數(shù)結(jié)合,讓學(xué)生觀察,讓學(xué)生發(fā)現(xiàn),提高學(xué)生的直覺思維能力。

2、通過分析數(shù)學(xué)問題的各種信息,培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力

觀察本身就是一種解題方法。對(duì)某些數(shù)學(xué)問題,通過觀察題設(shè)和題斷的結(jié)構(gòu)、圖形的變化規(guī)律、題目所給出的數(shù)據(jù)關(guān)系等顯信息以及問題所聯(lián)系的背景知識(shí)和隱含條件等隱信息,有利于洞悉數(shù)量關(guān)系和結(jié)構(gòu)關(guān)系,進(jìn)行跳躍性思維、縮簡(jiǎn)某些推理環(huán)節(jié),增強(qiáng)直覺意識(shí),提高直覺思維能力。

(四)設(shè)置情境,創(chuàng)造直覺思維環(huán)境

任何直覺只有在一定的情境下才能觸發(fā)產(chǎn)生。因此我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)有意選擇一些有誘發(fā)學(xué)生產(chǎn)生直覺思維的數(shù)學(xué)材料讓學(xué)生思考,啟發(fā)學(xué)生善于抓住事物的本質(zhì)及其內(nèi)在聯(lián)系,進(jìn)行直覺思維。另外,教師應(yīng)該在課堂教學(xué)中明確提出為直覺思維正名,肯定其作用和地位。對(duì)于學(xué)生的大膽猜想給予充分肯定,對(duì)其合理成分及時(shí)給予鼓勵(lì),愛護(hù)、扶植學(xué)生的自發(fā)性直覺思維,為學(xué)生創(chuàng)造一個(gè)良好的直覺思維環(huán)境,隨著時(shí)間的推移,一定會(huì)產(chǎn)生群體效應(yīng),這樣對(duì)滲透直覺觀念與思維能力的發(fā)展大有裨益。

(五)數(shù)形結(jié)合,誘導(dǎo)直覺思維動(dòng)機(jī)

著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)說過:“數(shù)缺形時(shí)少直覺,形少數(shù)時(shí)難入微。數(shù)形結(jié)合百般好,隔裂分家萬事非”,這說明數(shù)離不開形。在解題時(shí),若能構(gòu)造出恰當(dāng)?shù)膸缀螆D形常常能得出令人拍案稱奇的巧妙解法,而且數(shù)形結(jié)合也是誘導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)直覺思維動(dòng)機(jī)的一個(gè)極好的切入點(diǎn)。

(六)鼓勵(lì)猜想,培養(yǎng)直覺思維信心

著名科學(xué)家牛頓所說:“沒有大膽的猜想,就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)”。新課程理念鼓勵(lì)創(chuàng)新,要求學(xué)生能收集、選擇、處理數(shù)學(xué)信息,并作出合理的推斷和大膽的猜想。合理、科學(xué)的猜想是直覺思維的重要形式,也是科學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要途徑。我們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)中,要根據(jù)教材編寫的特點(diǎn)和學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律,引導(dǎo)學(xué)生開動(dòng)腦筋。

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(作者簡(jiǎn)介:李偉賢(1988.1)女,漢族,河南省衛(wèi)輝市人,黃淮學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)。)