【摘要】數(shù)形結(jié)合思想方法是中學數(shù)學教學中的重要思想方法之一，它在高考中占有非常重要的地位，它的特點：是直觀形象、簡捷明快、不易錯。它也是高考重點考核的思想方法之一。很多數(shù)學問題用此方法來解，可以達到化難為易、化險為夷的目的。高中數(shù)學教學中應(yīng)重視此思想的滲透，從而幫助學生提高分析問題解決問題的能力。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合；圖形轉(zhuǎn)化；解題能力

【中圖號】G633.6【文獻標示碼】A【文章編號】1005-1074(2009)02-0190-01

“數(shù)學是研究現(xiàn)實世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學”，數(shù)與形是對立統(tǒng)一的兩個方面，數(shù)是形的抽象、概括，形是數(shù)的直觀體現(xiàn)。數(shù)形結(jié)合既是中學數(shù)學教學的要求之一，又是數(shù)學領(lǐng)域里的一種思想方法，在教學中培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合的思想，注意研究數(shù)與形之間相輔相成的關(guān)系，能有效地提高學生的解題能力。

用數(shù)形結(jié)合思想研究問題，就是注意數(shù)與形的結(jié)合，或把幾何圖形轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系問題，運用代數(shù)、三角等知識去討論，或把數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的圖形性質(zhì)問題，借助于幾何知識加以解決。在教學中，重視數(shù)形結(jié)合的引導(dǎo)，使學生對數(shù)學問題認識得更清楚、深刻，還可以加強知識間的縱橫聯(lián)系，形成由形思數(shù)，由數(shù)想形，有利于與提高學生分析問題、解決問題的能力。

1由形思數(shù)，以數(shù)輔形

由形思數(shù)，以數(shù)輔形就是要善于從圖形聯(lián)想并構(gòu)造出與之對應(yīng)的數(shù)量模型，以此培養(yǎng)學生思維的深刻性。

例1．點P正△ABC的外接圓劣弧BC上任意一點，

求證：①PB+PC=PA；②PB#8226;PC=PA2-BC2。

分析：此題的結(jié)論涉及到兩數(shù)和與積，故可聯(lián)想到韋達定理從而構(gòu)造一元二次方程x2-PA#8226;x+(PA2-BC2)=0，則問題轉(zhuǎn)化為證明PB、PC為這個方程的兩個根。

證明：設(shè)正三角形邊長為a，由同弧上的圓周角相等可知∠APC=∠APB=60°，

在△APB與△APC中，由余弦定理，得:a2=PB2+PA2-2PB#8226;PAcos60°，a2=PC2+PA2-2PC#8226;PAcos60°

即PB2-PA#8226;PB-(PA2-a2)=0，PC2-PA#8226;PC-(PA2-a2)=0，

由此二式可知PB、PC是方程x2-PA#8226;x+(PA2-BC2)=0的兩個根，

根據(jù)韋達定理，可得①PB+PC=PA；②PB#8226;PC=PA2-BC2。

小結(jié)與反思：該題是用代數(shù)方法解幾何問題，把圖形的論證與計算轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的演變與推算，推導(dǎo)過程中與余弦定理有效地進行了結(jié)合，從而明了地解決了該題。將所證明的結(jié)論與韋達定理聯(lián)系起來，對學生來說是要經(jīng)過一番思考的，因此我們在處理數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化，也應(yīng)加強“未知”與“已知”之間的聯(lián)想。

2由數(shù)想形，直觀表現(xiàn)

代數(shù)問題幾何化，通過圖象的形狀和位置，可以直觀地得到問題的解答，既避免了冗長的計算，又能培養(yǎng)學生思維的靈活性。

例2．已知x，y之間的關(guān)系式 x2+y2-4x+1=0，則yx的最大值為____

分析：等式即為 (x-2)2+y2=3有明顯的幾何意義，它表示坐標平面上的一個圓，圓心為（2，0），半徑為3（如圖），而 yx=y-0x-0則表示圓上的點（x，y）與原點（0，0）的連線的斜率。于是該問題可轉(zhuǎn)化為如下幾何問題：動點A在以（2，0）為圓心，3為半徑的圓上運動，求直線OA的斜率的最大值，由圖可見，當∠A在第一象限且與圓相切時，OA的斜率最大，易得 kOA=3

小結(jié)與反思：如果我們能在平時的學習過程中，有意識的就一些代數(shù)式作結(jié)構(gòu)上的聯(lián)想，從幾何的角度加以闡述，讓“數(shù)”走向“形”，利用“形”破題，會對我們解題能力的提高有不小的幫助。以下是常見的代數(shù)式與它的幾何意義。y1-y2x1-x2（表示兩點連線的斜率）；(x1-x2)2+(y1-y2)2（表示兩點間的距離）；x1x2+y1y2（表示兩向量的數(shù)量積）。

3數(shù)形結(jié)合，相得益彰

通過數(shù)形結(jié)合，促使學生自覺、主動地進行思維，培養(yǎng)學生思維的創(chuàng)造性。

例3．設(shè) f'(x)是函數(shù) f(x)的導(dǎo)函數(shù)， y=f'(x)的圖象如右圖所示，

則 y=f(x)的圖象最有可能的是（）

ABCD

分析：導(dǎo)函數(shù) y=f'(x)圖象，知：當x＜0時，f'(x)＞0；當0＜x＜2時，f'(x)＜0；當x＞2時，f'(x)＞0，由函數(shù)單調(diào)性知識得：y=f(x)在(-∞，0)上遞增，(0，2)遞減，(2，+∞)遞增，故選C。

小結(jié)與反思：此題考查了函數(shù)單調(diào)性的知識和圖形分析能力，出于對問題的綜合考慮，從已知圖象中抓取導(dǎo)函數(shù) f'(x)的函數(shù)值正負特征，從而分析該函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)，利用單調(diào)性質(zhì)識別出正確答案，由“形”獲“數(shù)”，由“數(shù)”得“形”，該題是一個非常好的數(shù)形結(jié)合題，也體現(xiàn)了對能力的考查，區(qū)分四個選項中的函數(shù)，又要與給定的導(dǎo)函數(shù)聯(lián)系上，對學生來講，能從函數(shù)的單調(diào)性去破題，是需要一番思考的。這樣的數(shù)形結(jié)合問題的確考出了新意。也說明平時我們在處理數(shù)形結(jié)合問題時，要有目標意識，綜合考慮問題的條件與結(jié)論，應(yīng)從“形”中抓對問題解決有用的信息，要能排除無效信息對思維的干擾。

總之，數(shù)學中的很多概念、法則、公式、定理都與一定的空間形式密切聯(lián)系，曲線與方程、區(qū)域與不等式、函數(shù)與圖象、三角函數(shù)與單位圓中的三角函數(shù)線，復(fù)數(shù)與向量都有內(nèi)在的聯(lián)系，而數(shù)形結(jié)合則是具體與抽象、感知與思維的結(jié)合，是發(fā)展形象思維與抽象思維一并使之相互轉(zhuǎn)化的有力“杠桿”。教師應(yīng)在數(shù)學教學中盡量發(fā)掘“數(shù)”與“形”的本質(zhì)聯(lián)系，借助數(shù)形結(jié)合的“慧眼”，探索分析問題和解決問題的方法，變學生學會為會學，提高學生的數(shù)學素養(yǎng)，在數(shù)學教學中真正實現(xiàn)素質(zhì)教育。