一、函數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用

在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中生產(chǎn)者與消費(fèi)者通過(guò)市場(chǎng)交換商品，消費(fèi)者購(gòu)買商品是為了得到它的效用，生產(chǎn)者提供商品為了獲取利潤(rùn)，而市場(chǎng)就是生產(chǎn)者和消費(fèi)者之間的橋梁我們知道某種商品的市場(chǎng)需求量是商品價(jià)格的函數(shù)，一般說(shuō)來(lái)將隨著價(jià)格的上漲而減少，即需求量是市場(chǎng)價(jià)格的單調(diào)減少函數(shù)，與需求函數(shù)相反，供給函數(shù)是隨著市場(chǎng)價(jià)格的上漲而增加。收人是生產(chǎn)者生產(chǎn)的商品售出后的收人，生產(chǎn)者銷售某種商品的總收人取決于該商品的銷售和價(jià)格，成本函數(shù)固定成本廠房設(shè)備管理者的固定工資等和變動(dòng)成本原材料勞動(dòng)者的工資等，利潤(rùn)是生產(chǎn)者扣除成本的剩余部分它也是產(chǎn)量的函數(shù)。

例:已知生產(chǎn)某種商品q件時(shí)的總成本(單位：萬(wàn)元)為

C（q）=10+5q+0.2q

如果每售出一件該商品的收入為9萬(wàn)元

(1)求生產(chǎn)10件該商品時(shí)的總利潤(rùn)。

(2)求生產(chǎn)20件該商品時(shí)的總利潤(rùn)。

解由題意可知，該商品的收入函數(shù)是R (q) =9q(萬(wàn)元)

又已知C(q)=10+5q+0.2q(萬(wàn)元)

利潤(rùn)的函數(shù)為L(zhǎng)（q）=R(q)一c(q)=4q一10一0 .2q(萬(wàn)元)

(1)生產(chǎn)10件該商品時(shí)的利潤(rùn)為

L(10)=4x10一10一0.2x102=10(萬(wàn)件)

(2)生產(chǎn)20件該商品的總利潤(rùn)為

L(20)=4x20一10一0.2x202=-10(萬(wàn)元)

從上面這個(gè)例子，我們可以分析這樣現(xiàn)象，即利潤(rùn)并不是總是隨著產(chǎn)量的增加而增加有時(shí)會(huì)產(chǎn)量增加，利潤(rùn)反而減少，甚至?xí)a(chǎn)生虧損。由理論分析得知利潤(rùn)函數(shù)分三種情況：

L(q)=R(q)一c(q)>0此時(shí)生產(chǎn)者盈利。

L(q)=R(q)一C(q)<0生產(chǎn)者虧損。

L(q)=R(q}- C(q)=0此時(shí)生產(chǎn)者即不盈利也不虧損即收支平衡。

盈虧分析常用于企業(yè)經(jīng)營(yíng)管理中各種價(jià)格或生產(chǎn)的決策。

二、收入最大化與利潤(rùn)最大化的優(yōu)化分析

總收入R是產(chǎn)量x與單價(jià)P的乘積，即R= X*P，若價(jià)格不變，最大的產(chǎn)量導(dǎo)致最大收入，但收入最大時(shí)的產(chǎn)量不一定就能產(chǎn)生最大的利潤(rùn)。下面，我們通過(guò)運(yùn)用高數(shù)知識(shí)的優(yōu)化分析，使你能清楚地理解這一點(diǎn)。

例1設(shè)某商品可以保證至少銷售10000件，每件售價(jià)為50元，如果銷售量增加，可按每增加2000件，相應(yīng)地每件降低2元的比例適當(dāng)降低價(jià)格，已知生產(chǎn)此種商品的固定成本是60000元，可變成本為每件20元，假設(shè)這種商品以銷定產(chǎn)(即產(chǎn)量與銷售量相等)，分析產(chǎn)量為多少時(shí)，才能獲得最好的經(jīng)濟(jì)效益?

三、建立數(shù)學(xué)模型是經(jīng)濟(jì)學(xué)向數(shù)學(xué)化、精密化邁進(jìn)的橋梁，培養(yǎng)建模能力，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)素質(zhì)的重要內(nèi)容

例如，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)優(yōu)化組合問(wèn)題。在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)條件下，每位投資者都面臨著多種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資決策問(wèn)題。一般說(shuō)來(lái)，每種金融資產(chǎn)，既有收益，又有風(fēng)險(xiǎn)，而且收益大的其風(fēng)險(xiǎn)也大。如果你把全部資金投向一種金融資產(chǎn)，那么你將承擔(dān)極大的風(fēng)險(xiǎn)。“不要把雞蛋裝在一個(gè)籃子里”，聰明的投資者會(huì)將他的資金投到多種金融資產(chǎn)上去，這叫做分散投資風(fēng)險(xiǎn)。如何優(yōu)化投資者的資產(chǎn)結(jié)構(gòu)，才可使總體收益最大呢?這里有一個(gè)難題，就是現(xiàn)實(shí)中不同的資產(chǎn)往往是互相影響的。因此，孤立地看，本來(lái)是很好的幾種金融資產(chǎn)，其組合卻并不一定是優(yōu)良的投資決策，反而有可能成為很糟糕的資產(chǎn)結(jié)構(gòu)怎樣解決這個(gè)問(wèn)題呢?我們可以通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型來(lái)實(shí)現(xiàn)(計(jì)算方法略)。

自然科學(xué)也常常需要數(shù)學(xué)模型。然而建立數(shù)學(xué)模型對(duì)于社會(huì)科學(xué)來(lái)講尤其具有特殊重要意義自然科學(xué)是實(shí)證科學(xué)，研究自然現(xiàn)象可以采用變換因索多次重復(fù)實(shí)驗(yàn)的方法，從中發(fā)現(xiàn)量與量的依賴關(guān)系。然而，對(duì)于社會(huì)現(xiàn)象來(lái)講，“實(shí)驗(yàn)”這個(gè)研究社會(huì)現(xiàn)象的王牌武器卻完全無(wú)能為力。因?yàn)樯鐣?huì)現(xiàn)象是一次性的動(dòng)態(tài)現(xiàn)象，不可能重現(xiàn)，沒(méi)有讓你實(shí)驗(yàn)的機(jī)會(huì)，所以不可能建造社會(huì)現(xiàn)象實(shí)物模型供研究者使用而數(shù)學(xué)模型恰恰可以彌補(bǔ)這方面的不足。人們可以根據(jù)現(xiàn)實(shí)的資料。多次地在計(jì)算機(jī)上檢驗(yàn)這個(gè)模型，修改這個(gè)模型，使之日臻完善，從而找出社會(huì)現(xiàn)象諸因素之間的數(shù)量依存關(guān)系，完成人類認(rèn)識(shí)社會(huì)現(xiàn)象的理性飛躍。通過(guò)數(shù)學(xué)模型研究，省時(shí)、省錢、省力而且安全，所以說(shuō)數(shù)學(xué)模型是社會(huì)經(jīng)濟(jì)分析的“實(shí)驗(yàn)室”。

為適應(yīng)人們對(duì)社會(huì)現(xiàn)象定量認(rèn)識(shí)的緊迫需要，數(shù)學(xué)模型便堂而皇之地登上了社會(huì)科學(xué)的殿堂。西方經(jīng)濟(jì)學(xué)中的“經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型”、“漢森一窿繆爾森模型”、“商品—貨幣領(lǐng)域的般均衡模型”等等便是證明。我國(guó)已連續(xù)數(shù)年成功地舉辦了高等院校學(xué)生的建模比賽，這說(shuō)明建立數(shù)學(xué)模型能力的培養(yǎng)已突出地受到了人們的重視。

四、微積分在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用

在經(jīng)濟(jì)學(xué)里習(xí)慣上用平均和邊際這兩個(gè)概念來(lái)描述一個(gè)經(jīng)濟(jì)量對(duì)于另一個(gè)經(jīng)濟(jì)量的變化，如邊際成本其經(jīng)濟(jì)含義當(dāng)產(chǎn)量為再生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品所增加的總成本C(q+1)-C(q)=△C(q)=C(q)

邊際利潤(rùn)總利潤(rùn)的平均變化率設(shè)銷售某種產(chǎn)品利潤(rùn)函數(shù)為等于總收入減去總成本即那么由導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可知所以，邊際利潤(rùn)等于邊際收人減去邊際成本。

例:已知生產(chǎn)某種彩色電視機(jī)的總成本函數(shù)為

C(q)=2.2x103q+8x107

通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查可以預(yù)計(jì)這種彩電的年需求量q=3.1x105一50p，試求使利潤(rùn)最大的銷售量和銷售價(jià)格。

解由需求量q=3.1x105一50p，解得

p=6.2x103-0.02q，那么當(dāng)銷售量為最大時(shí)，總收入函數(shù)為，R(q)=P(q)=6.2x103q-0.02q3利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)(q)=R(q)-C(q)= 4x103q-0.02q3-8x107

L’(q)=4x103q -0.04q

令L’(q)=4x103q -0.04q=0，得惟一駐點(diǎn)q=105由實(shí)際問(wèn)題可知，q=105是利潤(rùn)函數(shù)的極大值點(diǎn)，也是它的最大值點(diǎn)，最大利潤(rùn)為:L(105)= 4x103x105-0.02x108-8x107= 1.2x108

當(dāng)q=105，彩電的銷售價(jià)格為p=6.2x103-0.02x105=4200(元)

邊際需求為q(P)= -50，需求彈性為:

使利潤(rùn)最大的彩電售價(jià)為P=4200(元)，那么需求彈性為

即當(dāng)彩電售價(jià)為需求彈性為富有彈性，此時(shí)適當(dāng)降價(jià)不僅能夠增加銷售量，擴(kuò)大本企業(yè)的彩電在銷售市場(chǎng)上的占有份額，同時(shí)也能減少產(chǎn)品的庫(kù)存積壓，降低庫(kù)存成本，增加銷售總收入，給企業(yè)帶來(lái)經(jīng)濟(jì)效益。

五、要培養(yǎng)人們的數(shù)學(xué)模擬能力，還必須通過(guò)數(shù)學(xué)培養(yǎng)人們的量化測(cè)度能力，從而使人們?cè)诮?jīng)濟(jì)工作中，科學(xué)地合理地制定目標(biāo)，提高經(jīng)營(yíng)管理水平

例如奔小康問(wèn)題。有資料記載，某地制定農(nóng)村達(dá)小康標(biāo)準(zhǔn)為人均年收人2000元。據(jù)查，某村400人，一專業(yè)戶(4口人)年收人60萬(wàn)元，另一專業(yè)戶(4口人)年收人20萬(wàn)元，村中70%的人年收人在300元左右，其余的人年收人500元左右。據(jù)此，該村的年總收人構(gòu)成為：

60萬(wàn)元，20萬(wàn)元各一戶.兩戶共8人；

收人300元者共400 x70% = 280人；

收人500元者400一280一8=112人

所以，該村人均年收人為

-

x=60+20+0. 03 x 280+0.05 x 112/400

= 0.235(萬(wàn)元)

按當(dāng)?shù)匾?guī)定的標(biāo)準(zhǔn)，該村已步人小康，該村村長(zhǎng)、支書可列人率領(lǐng)群眾奔小康的模范人物，可以請(qǐng)功領(lǐng)賞了。但事實(shí)上，該村大多數(shù)人還處于貧困水平(70%的人年收人在300元左右)、榮譽(yù)與事實(shí)反差極大的原因在于“小康”的標(biāo)準(zhǔn)定得不科學(xué)，不合理，即“小康”未能正確地量化測(cè)度。應(yīng)該還有“共同富?！边@一條。如何度量“共同富裕”這一標(biāo)準(zhǔn)呢?概率論中告訴我們，可以使用人均年收人的標(biāo)準(zhǔn)差a和標(biāo)準(zhǔn)系數(shù)Ve。經(jīng)計(jì)算可有

該村的人均年收人標(biāo)準(zhǔn)系差數(shù)竟然超過(guò)100%，達(dá)到六倍多，實(shí)在沒(méi)法交待!這說(shuō)明一個(gè)現(xiàn)代化的管理者必須學(xué)會(huì)止確制定奮斗目標(biāo)和評(píng)價(jià)指標(biāo)。為此，管理者必須具備一定的數(shù)學(xué)知識(shí)，否則會(huì)將人們引向歧途，還有邊際分析、彈性分析，對(duì)于經(jīng)濟(jì)分析都很有用。

以上列舉一些事例只是經(jīng)濟(jì)生活中最優(yōu)化問(wèn)題的一小部分。類似優(yōu)化問(wèn)題，現(xiàn)實(shí)生活中不勝枚舉。限于篇幅，在此不在列舉。最后要提醒讀者注意的是，由于計(jì)量方法等原因，在實(shí)際問(wèn)題中，函數(shù)的自變量有許多是離散的，按照連續(xù)函數(shù)極值的判定方法，求出的極值點(diǎn)，可能與自變量允許取的離散值不完全吻合，一般情況下，可以取極值點(diǎn)最近旁的允許值范圍內(nèi)的點(diǎn)來(lái)代替極值點(diǎn)，而求出極值。另外，本文所用實(shí)際問(wèn)題中求最值簡(jiǎn)化方法對(duì)不連續(xù)函數(shù)不能用；對(duì)定義域上超過(guò)一個(gè)駐點(diǎn)的函數(shù)，也不能用、遇到不能用簡(jiǎn)化方法的，就必須將各駐點(diǎn)，一階導(dǎo)數(shù)不存在點(diǎn)，及區(qū)間端點(diǎn)的函值數(shù)全求出，再比較大小，即可得最大(小)值。