[摘 要] 應(yīng)用小波變換和混沌理論提出了一種匯率建模及預(yù)測(cè)的方法。首先應(yīng)用小波分解理論對(duì)匯率序列進(jìn)行分解，得到低頻部分和高頻部分；然后在此基礎(chǔ)上作進(jìn)一步分析，以確認(rèn)高、低頻部分都存在混沌特性；再應(yīng)用混沌理論分別建立高、低頻部分的預(yù)測(cè)模型，進(jìn)行預(yù)測(cè)；最后對(duì)混沌模型預(yù)測(cè)的結(jié)果予以小波重構(gòu)，實(shí)現(xiàn)對(duì)原始匯率序列的預(yù)測(cè)。對(duì)兩種主要貨幣兌美元的日匯率序列進(jìn)行了實(shí)證。研究表明，該方法具有較高的精度，并具有極大的應(yīng)用前景。

[關(guān)鍵詞] 小波分解 匯率 混沌 預(yù)測(cè)

匯率在宏觀經(jīng)濟(jì)政策、商業(yè)經(jīng)營和個(gè)人決策制定上的作用越來越重要，這種重要性使匯率預(yù)測(cè)已經(jīng)成為國內(nèi)外學(xué)者研究的熱點(diǎn)。然而，匯率系統(tǒng)是一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)，它具有復(fù)雜的非線性動(dòng)力系統(tǒng)特征，既受確定性規(guī)律支配，又表現(xiàn)出某種隨機(jī)現(xiàn)象，因此要做到對(duì)匯率進(jìn)行準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)是一個(gè)很難的研究課題。

匯率預(yù)測(cè)問題屬于時(shí)間序列預(yù)測(cè)范疇， 傳統(tǒng)的時(shí)間序列分析模型主要是基于線性自回歸(Auto Regression， AR)模型和線性自回歸滑動(dòng)平均(Auto Regression Moving Average， ARMA)模型，如矢量自回歸模型、雙線性模型以及門限自回歸模型等。這些模型對(duì)線性系統(tǒng)具有較好的預(yù)測(cè)效果，但用于預(yù)測(cè)匯率這樣的非線性系統(tǒng)時(shí)，準(zhǔn)確性較差。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)方法雖然具有逼近非線性的能力，然而，當(dāng)用它來預(yù)測(cè)匯率系統(tǒng)時(shí)，其結(jié)果并不理想，而且還存在著算法收斂速度、網(wǎng)絡(luò)推廣能力等目前難以突破的障礙和困難。

小波分析的提出和發(fā)展為研究匯率預(yù)測(cè)問題提供了強(qiáng)有力的工具。小波變換具有獨(dú)特的多尺度分析能力，能將時(shí)間序列按不同尺度分解成不同的層次，從而降低時(shí)間序列中存在的非線性程度，而使問題變得簡單，便于分析和預(yù)測(cè)?；诖?，本文提出一種方法，將小波變換與混沌理論相結(jié)合，對(duì)匯率預(yù)測(cè)進(jìn)行研究，以期提高預(yù)測(cè)的精度。

一、小波分解理論概要

設(shè)其傅立葉變換為，當(dāng)滿足允許條件：

(1)

時(shí)，稱為一個(gè)基本小波或母小波。將經(jīng)伸縮和平移后得

(2)

稱其為一個(gè)小波序列，式中，a為伸縮因子；b為平移因子。

小波分析的重要應(yīng)用之一是多分辨分析。多分辨分析是一種對(duì)信號(hào)的空間分解的方法，在其基礎(chǔ)上，產(chǎn)生了小波分解的Mallat算法。運(yùn)用Mallat算法，可以將信號(hào)一層層進(jìn)行分解，每一層分解的結(jié)果是將上次分解得到的低頻信號(hào)再分解成低頻和高頻兩部分。例如，從第一層開始分解，結(jié)果有高頻部分D1和低頻部分；接著，對(duì)低頻部分進(jìn)行進(jìn)一步的分解，結(jié)果有高頻部分D2和低頻部分。如此，一直把信號(hào)進(jìn)行分解，經(jīng)過N層分解之后，原始信號(hào)X分解為：

X=D1+D2+∧+DN+AN (3)

式中，D1，D2，∧，DN分別為第1層、第2層到第N層分解得到的高頻信號(hào)(又稱細(xì)節(jié)信號(hào))；AN為第N層分解得到的低頻信號(hào)(又稱逼近信號(hào))。

如能對(duì)D1，D2，∧，DN和AN進(jìn)行預(yù)測(cè)，然后通過小波重構(gòu)算法即可實(shí)現(xiàn)對(duì)原始信號(hào)的預(yù)測(cè)。

二、匯率預(yù)測(cè)研究

匯率價(jià)格具有波動(dòng)特性，由于波動(dòng)的時(shí)間性，其在不同時(shí)間上波動(dòng)的快慢是不同的，即它具有不同的高或低頻特性，利用小波變換的特性能夠撲捉到這種特性，當(dāng)不能完全展現(xiàn)波動(dòng)特性時(shí)（精度不滿足要求）就需要通過多層次的變換去實(shí)現(xiàn)。

本文選取2005年7月22日～2008年11月7日的加拿大元兌美元和英鎊兌美元日匯率數(shù)據(jù)，對(duì)匯率進(jìn)行建模和預(yù)測(cè)。數(shù)據(jù)來源于美國聯(lián)邦儲(chǔ)備銀行圣路易斯官方網(wǎng)站。

1.小波分解及特征分析

利用小波分解算法，分別對(duì)加拿大元兌美元和英鎊兌美元日匯率序列進(jìn)行五層分解，即將原始時(shí)間序列分別分解成低頻部分 和高頻部分 ，分解層數(shù)的選擇是根據(jù)預(yù)測(cè)誤差最小而定。加拿大元兌美元和英鎊兌美元日匯率序列分解后的高低頻部分的波形分別如圖1，圖2所示。

文獻(xiàn)已證明匯率時(shí)間序列是具有混沌特性的，因此，兩個(gè)匯率序列經(jīng)小波分解后的高頻部分很可能仍然具有混沌特征，需要進(jìn)行判斷。判斷一個(gè)序列是否具有混沌特征，要看這個(gè)序列的最大Lyapunov指數(shù)是否為正。如果為正，則此序列是混沌的。本文采用小數(shù)據(jù)量方法分別求取各高頻部分的最大Lyapunov指數(shù)，其結(jié)果都為正，因此可以判斷兩個(gè)匯率序列的高頻部分都具有混沌特性，可通過建立各自的混沌模型進(jìn)行預(yù)測(cè)。圖1、圖2所顯示的低頻部分雖然較平緩，然而經(jīng)過計(jì)算，其最大Lyapunov指數(shù)仍為正，因此低頻部分也具有混沌特性，也可通過建立各自的混沌模型進(jìn)行預(yù)測(cè)。

2.匯率預(yù)測(cè)

2005年7月22日～2008年11月7日加拿大元兌美元和英鎊兌美元匯率數(shù)據(jù)，其樣本數(shù)量分別為833個(gè)，將其分別進(jìn)行5層小波分解后，分別得到6層時(shí)間序列，每層時(shí)間序列均有833個(gè)數(shù)據(jù)。由于分解后的時(shí)間序列都具有混沌特性，因此，對(duì)分解后的時(shí)間序列應(yīng)分別建立混沌模型進(jìn)行預(yù)測(cè)?；煦鐣r(shí)間序列預(yù)測(cè)的基礎(chǔ)是相空間的重構(gòu)理論，因此，首先要通過重構(gòu)相空間矢量來重構(gòu)相空間。

小波分解得到的各混沌時(shí)間序列可表示為{xk}，k=1，∧K，則重構(gòu)的相空間矢量為

Vn=(xn，xn-τ，∧，xn-(d-1)τ)(4)

式中τ為時(shí)滯時(shí)間；d為嵌入維數(shù)，可由零階近似法確定;n=J0，J0+1，∧，Nf，且J0=(d-1)τ+1，Nf， 為樣本值個(gè)數(shù)。由嵌入理論可知，存在一映射F∶Rd→Rd使得

Vn+1=F(Vn) (5)

當(dāng)時(shí)間序列的觀察函數(shù)是光滑的且嵌入維數(shù)足夠大時(shí)，式（5）的動(dòng)力學(xué)行為與重構(gòu)前原系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為是拓?fù)涞葍r(jià)的。在實(shí)際應(yīng)用中，使用一標(biāo)量方程來代替式（5）的矢量方程，即

xn+1=f(Vn) (6)

式（6）就是對(duì)分解后的時(shí)間序列建立的混沌模型，根據(jù)此模型就可由Vn預(yù)測(cè)出xn+1。

混沌模型建立后，可以把它用于預(yù)測(cè)。具體的做法是，每個(gè)時(shí)間序列的前800個(gè)數(shù)據(jù)用于確定預(yù)測(cè)模型和優(yōu)化模型參數(shù)，后面33個(gè)數(shù)據(jù)用于實(shí)際預(yù)測(cè)。采用混沌模型對(duì)各時(shí)間序列分別進(jìn)行預(yù)測(cè)，即得各時(shí)間序列的預(yù)測(cè)值。

將分解的各時(shí)間序列的預(yù)測(cè)值應(yīng)用小波重構(gòu)方法進(jìn)行合成，得到的結(jié)果就是原始日匯率序列的預(yù)測(cè)值，即加拿大元兌美元和英鎊兌美元匯率序列的預(yù)測(cè)值，各自的預(yù)測(cè)結(jié)果如圖3、圖4所示。

圖3、圖4中，實(shí)線為實(shí)際值，虛線為預(yù)測(cè)值，預(yù)測(cè)均方根誤差分別為0.0260和0.0201，由圖可見預(yù)測(cè)效果非常好。本文也采用式（6）所示的混沌模型對(duì)加拿大元兌美元和英鎊兌美元匯率序列進(jìn)行了預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)均方根誤差分別為和0.2200和0.1232，由此可見本文的方法明顯優(yōu)于直接采用混沌模型的預(yù)測(cè)。

三、結(jié)論

本文應(yīng)用小波變換和混沌理論提出了一種匯率建模及其預(yù)測(cè)的方法，并應(yīng)用它對(duì)加拿大元兌美元和英鎊兌美元的日匯率序列進(jìn)行了預(yù)測(cè)。對(duì)于匯率這一復(fù)雜的時(shí)間序列而言，本文對(duì)兩種時(shí)間序列的預(yù)測(cè)均方根誤差分別達(dá)到和0.0260和0.0201，結(jié)果是比較滿意的。本文的結(jié)果表明，通過對(duì)時(shí)間序列的小波分解，進(jìn)而建立混沌模型并進(jìn)行預(yù)測(cè)，再進(jìn)行小波合成的方法是匯率預(yù)測(cè)的好方法，具有較高的精度，在匯率預(yù)測(cè)中具有極大的應(yīng)用前景。

參考文獻(xiàn):

謝 赤 楊 妮 孫 柏:匯率時(shí)間序列混沌動(dòng)力學(xué)特征及實(shí)證[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2008，(8):118～122