[摘 要] 在查復(fù)利系數(shù)表或年金系數(shù)表時(shí)，如果i和n任意一個(gè)為未知，常常用到插值法，但現(xiàn)行教材往往沒有對(duì)插值法的原理和實(shí)質(zhì)進(jìn)行清楚地解析，初學(xué)者對(duì)該方法不易理解和掌握。本文根據(jù)教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，使用斜率原理解析插值法，效果比較理想。

[關(guān)鍵詞] 插值法 斜率原理 求解步驟

一、插值法的實(shí)質(zhì)

在查復(fù)利系數(shù)表或年金系數(shù)表時(shí)，如果i和n任意一個(gè)為未知，常常須用到插值法。例如投資方案的實(shí)際利率計(jì)算，項(xiàng)目有效期、內(nèi)涵報(bào)酬率和債券收益率的求解都必須應(yīng)用插值法求解。然而，現(xiàn)行教材往往沒有對(duì)插值法的原理和實(shí)質(zhì)進(jìn)行清楚地解析，初學(xué)者對(duì)該方法不易理解和掌握?；诖?，學(xué)術(shù)界也開始針對(duì)插值法的實(shí)質(zhì)提出了自己的觀點(diǎn)。諸如田笑豐在2008年“會(huì)計(jì)之友”第4期提出用近似直角三角形相似解析插值法;關(guān)繼芳在2008年“會(huì)計(jì)之友”第6期提出用數(shù)軸比例推算法解析插值法。這些觀點(diǎn)都有其合理性，但始終沒有探索到插值法的實(shí)質(zhì)。

插值法是函數(shù)逼近的一種重要方法，是數(shù)值計(jì)算的基本課題。其實(shí)質(zhì)是利用函數(shù)f(x）在某區(qū)間中若干點(diǎn)的函數(shù)值，做出適當(dāng)?shù)奶囟ê瘮?shù)，在這些點(diǎn)上取已知值，在區(qū)間的其他點(diǎn)上用這特定函數(shù)的值作為函數(shù)f(x）的近似值。如果這特定函數(shù)是多項(xiàng)式，就稱它為插值多項(xiàng)式。

二、斜率原理

斜率是用來(lái)量度斜坡的斜度。在數(shù)學(xué)上，它是直線的傾斜程度的量度，計(jì)算公式為k=△y/△x。眾所周知，兩點(diǎn)確定一條直線，也就是兩點(diǎn)就能確定這條直線的斜率。因此，利用兩點(diǎn)的坐標(biāo)值可以計(jì)算出這條直線的斜率。任意給定兩點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2），則AB的斜率kAB=（y2-y1）/(x2-x1)。對(duì)于曲線來(lái)說(shuō)，上面某點(diǎn)的斜率則反映了此曲線的變量在此點(diǎn)處的變化快慢程度，計(jì)算公式為k=dy/dz，d是微分算符。在解析幾何中，斜率是定義直線與給定直線之間夾角的大小，一般來(lái)說(shuō)，給定直線是x軸，設(shè)這個(gè)夾角是θ，定義斜率k=tanθ。

斜率原理主要體現(xiàn)兩點(diǎn)：(1)同一直線的斜率處處相等。例如，同一直線上的任意三點(diǎn)A、B、C，則kAB=kBC=kAC。(2)平行線的斜率相等。如果直線AB平行直線CD，則kAB=kCD。

三、利用斜率原理求解的基本步驟

為了便于比較，現(xiàn)以高等教育出版社2005年出版的《財(cái)務(wù)管理學(xué)》P57對(duì)貼現(xiàn)率的求解為例：現(xiàn)在向銀行存入2000元，要想4年后能得到本利和3000元，存款利率應(yīng)有多高？

通過(guò)審題，可以知道該題必須使用復(fù)利系數(shù)，但i為未知，因此需要應(yīng)用插值法。利用斜率原理求解步驟如下：

1.計(jì)算系數(shù)

利用復(fù)利終值計(jì)算方法可得到：3000=2000×FVIFi，4，因此，系數(shù)FVIFi，4=3000÷2000=1.5

2.繪制函數(shù)圖像

論f（i）=FVIFi，4=(1+i)4。利用高等數(shù)學(xué)知識(shí)可知，該函數(shù)是典型的冪函數(shù)，拋物線型，經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1）。由于i≥0，f（i）≥0，所以函數(shù)圖像在第一象限，單調(diào)遞增。如圖所示。

圖像繪出后，把計(jì)算出來(lái)的系數(shù)值在圖上標(biāo)出，作為A點(diǎn)，坐標(biāo)為（i，1.5）。繪制圖像時(shí)，描繪出函數(shù)的單調(diào)性、凸凹性、經(jīng)過(guò)的特殊點(diǎn)及在哪個(gè)象限即可，圖像可以不必非常精確。熟練該方法后，甚至可以不繪制圖像，心里清楚即可。

3.利用斜率原理求解

為了使用斜率原理，必須在函數(shù)圖像上再找兩個(gè)點(diǎn)B和C，當(dāng)B點(diǎn)和C點(diǎn)非?？?/p>

近A點(diǎn)時(shí)，A、B、C三點(diǎn)近似在一條直線上，即斜率kAB=kBC= kAC。

在尋找B點(diǎn)和C點(diǎn)時(shí)，必須同時(shí)滿足以下條件：其一，B點(diǎn)和C點(diǎn)要非?？拷麬點(diǎn)，如果離A點(diǎn)太遠(yuǎn)，A、B、C三點(diǎn)的斜率相差太大，利用插值法計(jì)算出來(lái)的結(jié)果精確度大大降低；其二，B點(diǎn)、C點(diǎn)的貼現(xiàn)率和系數(shù)值必須在復(fù)利系數(shù)表中能夠查到，否則，無(wú)法使用插值法。

通過(guò)查表，找到B（10%，1.4641）、C（11%，1.5181）兩點(diǎn)。

利用kAB=kBC得到：

(1.5-1.4641)/(i-10%)=(1.5181-1.4641)/(11%-10%)

求得i = 10.6648%。

四、結(jié)論

利用斜率原理解析插值法能體現(xiàn)以下優(yōu)點(diǎn)：其一，能夠解釋課本中的“逐步測(cè)試法的測(cè)試距離不應(yīng)過(guò)大”，因?yàn)榫嚯x越大，對(duì)于曲線來(lái)說(shuō)，三點(diǎn)的斜率相差越大；其二，當(dāng)函數(shù)的曲度很大時(shí)，近似直角三角形相似法和數(shù)軸比例推算法都難以解釋插值法誤差產(chǎn)生的原因，而斜率原理可以解釋這一點(diǎn)；其三，用斜率原理解釋插值法時(shí)，通過(guò)函數(shù)圖像可以明確系數(shù)與i或n的關(guān)系，便于學(xué)生記憶和理解。

參考文獻(xiàn):

[1]郭復(fù)初 王慶成主編:財(cái)務(wù)管理學(xué)[M].北京:高等教育出版社，2005，8:57

[2]田笑豐:財(cái)務(wù)管理教學(xué)中插值法的快速理解和掌握[J].會(huì)計(jì)之友，2008（4）:74～75

[3]關(guān)繼芳:插補(bǔ)法簡(jiǎn)解[J].會(huì)計(jì)之友，2008（6）