[摘 要] 對特殊數(shù)量折扣價格獎勵計劃采購數(shù)量的求解，一般是以平均價格通過反復試算法進行。本文以此為基礎，根據(jù)經(jīng)濟訂貨批量模型的求解方法，通過函數(shù)分析，確定了最優(yōu)采購數(shù)量的計算模型，并通過實例，驗證了這種方法的正確性。

[關鍵詞] 特殊數(shù)量折扣價格獎勵計劃 反復試算法 最優(yōu)訂貨策略

經(jīng)濟訂貨批量模型（Economic Order Quantity Model，EOQ）是庫存管理模型中的基本模型，在企業(yè)采購和庫存數(shù)量決策中經(jīng)常應用。該方法主要是通過平衡采購進貨成本和保管倉儲成本，確定一個最佳的訂貨數(shù)量來實現(xiàn)最低總庫存成本。

隨著采購數(shù)量、訂貨時間、到貨間隔時間等的不同，經(jīng)濟訂貨批量模型可以有不同的擴展和變化，但總的思想依然是根據(jù)物流管理中的“背反”規(guī)律，平衡倉儲成本、進貨成本，確定一個最佳的訂貨數(shù)量，在該數(shù)量點庫存總成本最低。本文就是根據(jù)這一思想，對特殊價格獎勵計劃的最優(yōu)采購數(shù)量進行了進一步探討。

在采購與供應決策中，采購機構(gòu)經(jīng)常受到價格獎勵的鼓勵而大量采購貨物。普遍使用的價格獎勵主要有兩種：普遍價格獎勵和特殊價格獎勵。由于對應采購量的不同而在不同的采購區(qū)間享受不同的價格折扣優(yōu)惠，因此，必須對其進行一定的改變，求解最優(yōu)采購量。

一、普通價格獎勵的采購數(shù)量

普通數(shù)量折扣價格獎勵計劃（Inclusive Quantity Discount-Price-Incentive Plan）是指隨著購買量的增大，供應商會降低適用于所有定購產(chǎn)品的報價。這在消費品采購及平常的教材中很常見，即一般教材中所講的“有折扣的訂貨批量模型”。供應商為了吸引顧客一次購買更多的商品，往往規(guī)定對于購買數(shù)量達到或超過某一數(shù)量標準時給予顧客價格上的優(yōu)惠，這個事先規(guī)定的數(shù)量標準稱為折扣點。在數(shù)量折扣的條件下，折扣之前的單位購買價格與折扣之后的單位購買價格不同，由于它是對于大于等于某個采購數(shù)量的所有產(chǎn)品適用某一折扣價格，所以認為這是一種“全量”的優(yōu)惠。

具體的求解方法可見文獻。

二、特殊價格獎勵的采購數(shù)量

與普通數(shù)量折扣價格獎勵計劃相對應，特殊數(shù)量折扣價格獎勵計劃（Noninclusive Quantity Discount-Price-Incentive Plan）指所降低的報價或者優(yōu)惠的價格僅僅適用于數(shù)量折扣范圍內(nèi)的產(chǎn)品。通過文獻檢索，雖然研究不同情況下的最優(yōu)訂貨策略的相關文獻較多，但是對于特殊數(shù)量折扣價格獎勵計劃這種問題的討論還沒有見到相關文獻資料。因為這種優(yōu)惠僅僅是對于超過某一數(shù)量或價格的超過量而言，所以認為這是一種“增量”的優(yōu)惠。

對于這種“增量”優(yōu)惠采購模型，由于不同的數(shù)量所采用的價格不同，使用通常的求解經(jīng)濟采購批量的方法是不可行的。

1.一個分解點問題求解的“反復試算法”

為了簡單起見，首先設該問題下只有一個折扣分界點。那么該折扣分解點將采購區(qū)間分割為兩個區(qū)間：

如果采購量位于第一個采購區(qū)間，即：采購量Q∈(0，Q1)時，則采購價格為P1；

如果采購量位于第二個采購區(qū)間，即：采購量Q∈[Q1，+∞]時，則可以根據(jù)采購價格的不同，將采購量可以分為兩部分：（1）對于采購量Q+Q1，采購價格為P1；（2）對于采購量=(Q-Q1)，采購價格為P2。則對于采購量為Q的產(chǎn)品而言，其平均采購價格為：

由于P1、P2和Q1是已知的常量，所以可得：當采購量大于折扣點采購數(shù)量時，平均價格是采購數(shù)量的函數(shù)，即：＝f(Q)。同時，可知：隨著Q的增加，平均采購價格是遞減的。

設全年購買量不變，為常量D。每次采購成本為K，單位貨物的年庫存成本為C。如果每次采購數(shù)量為Q，根據(jù)總成本公式可知：購入成本為×D；采購成本為；庫存成本為。那么，隨著Q的增加，購入成本遞減，采購成本遞減，而庫存成本遞增，這體現(xiàn)了物流成本的悖反規(guī)律。

根據(jù)物流總成本最小的原則，可以通過“反復試算法”(Trial And Errors)來找到問題的答案。對于不同的采購批量Qi，總成本為:

(2)

如果單位貨物的年庫存成本和采購價格為線性關系，設單位貨物的年庫存成本率為f，即C+P×f，則庫存成本為。那么，式（2）可以寫成：

(3)

例1是反復試算法的應用。

例1：某商品每年的預計需求量穩(wěn)在2600個。采購訂單的準備成本為每訂單10元，庫存持有成本每年為20％。供應商提出兩種報價：采購量小于500個時，價格為5元/個；如果采購量大于或等于500個，則對多于500的數(shù)量價格優(yōu)惠5%，求解最佳訂貨量。

解：我們可以求出對應于不同采購量的平均價格，然后求出對應的總成本。為了計算方便，從300開始試算，并以100為步長向前移動。可得如表1所示：

通過計算可知：最優(yōu)采購數(shù)量為900。最小總成本為13183。

反復試算法將庫存問題變成了離散型的，這種方法雖然能基本解決問題，但這種解決方法是近似的。是不是還有更加準確的解呢？

2.一般情形

如果有n個折扣點Q1，Q2，…，Qt，…，Qn將整個采購數(shù)量分割為（n+1)個折扣區(qū)間，(p1，p2，…，pt，…，pn，pn+1)分別對應于第1個、第2個一直到第n+1個區(qū)間的折扣價格?？梢杂帽?如下：

由于第1個折扣區(qū)間一般是沒有折扣的，采購價格等于原價格。所以，當采購數(shù)量Q位于第t個折扣區(qū)間，即：Qt-1≤Q1)時，則：

持有成本=P1×Q1+P2×(Q2-Q1)+P3×(Q3-Q2)+……+Pt-1×(Qt-1-Qt-2)+Pt×(Q-Qt-1)

=(P1-P2)×Q1+(P2-P3)×Q2+……+(Pt-1-Pt)×Qt-1+Pt×Q

因此，平均價格

(4)

由于：在給定問題中，Pi(i=1，2，…，n)，Qi(i=1，2，…，n) 均為常數(shù)，所以，設：

Nt=(P1-P2)×Q1+(P2-P3)×Q2+……+(Pt-1-Pt)×Qt-1

=(pi-Pi+1)×Qi

=常數(shù)， (5)

則：平均價格（當t=1時，N1=1）。(6)

通過推導，可得最優(yōu)采購數(shù)量：

。 (7）

因為：采購總成本=持有成本+采購成本+庫存成本，所以，如果采購數(shù)量Q位于第t個采購區(qū)間，則采購總成本TCt為：

(8)

對應于該區(qū)間最優(yōu)采購數(shù)量Q*t，則用Q*t代替上式中的Q，即可計算出年最小總成本，即：

(9)

例2：現(xiàn)求解例1的精確解。

已知：D=2600，Q1=500，K=10，f=20%，P2=5×(1-5%)=4.75。

則可得：N=(P1-P2)×Q1=125。

所以：(個)。

計算當Q=860時，平均價格為。

所對應的總成本為：

這樣，我們可以求出更加精確的值，使得總成本達到最小化。

例3:設年采購總額D=20000，每次采購成本K=200，單位貨物年存儲費率f=0.2，在特殊數(shù)量折扣價格獎勵計劃下進行采購，對應于不同的采購數(shù)量享受的價格優(yōu)惠如表3所示。求最優(yōu)的采購策略。

解:(1)計算第1區(qū)間的最優(yōu)采購數(shù)量:;計算第2區(qū)間的最優(yōu)采購數(shù)量：

因為N2=(P1-P2)×Qt=4000，

所以

(同理可求:N3=10000，N4=18000，N5=38000;Q*3=11292，Q*4=16125)

因此直接求解第5區(qū)間的最優(yōu)采購數(shù)量。

(2)最后區(qū)間（即第5區(qū)間）的最優(yōu)采購數(shù)量；

由于27641>5000，且27641>D=20000，所以，求解對應于不同采購數(shù)量的采購總成本。

(3)求解總成本

因為N3=10000，N4=18000，N5=38000;

所以，同理可得：

TC*3=357133，TC*4=326949。

TC*5(Q*5=27641)

＝259081；

∵TC*(D=20000)=262000最小，

∴最優(yōu)采購策略為一次性采購20000單位產(chǎn)品。

三、結(jié)論

由于條件的變化，特殊數(shù)量折扣價格獎勵計劃的最優(yōu)采購數(shù)量的確定，不能直接套用基本經(jīng)濟訂貨批量模型。本文根據(jù)經(jīng)濟訂貨批量模型的求解方法，通過函數(shù)分析，確定了該種情況下最優(yōu)采購數(shù)量的計算模型，并通過實例，比較了該模型和反復試算法的不同。該方法可以使得最優(yōu)數(shù)量的確定更加精確，并為實際問題的求解提供了一種思路和方法。

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