[摘 要] 利用計(jì)算機(jī)對(duì)經(jīng)濟(jì)學(xué)的離散事件廣義動(dòng)態(tài)投入產(chǎn)出模型進(jìn)行模擬與控制，以使國(guó)民經(jīng)濟(jì)能夠協(xié)調(diào)發(fā)展。通過(guò)使用一種新的數(shù)學(xué)方法—線性矩陣不等式，動(dòng)態(tài)廣義投入產(chǎn)出模型不需要轉(zhuǎn)化成一般形式可以直接研究其穩(wěn)定性，從而可以減少研究的復(fù)雜性。首先提出了一個(gè)動(dòng)態(tài)投入產(chǎn)出模型一類穩(wěn)定的條件，并基于此設(shè)計(jì)了相應(yīng)的反饋控制器，然后利用計(jì)算機(jī)編寫(xiě)相應(yīng)的模擬與控制程序，實(shí)現(xiàn)了對(duì)動(dòng)態(tài)投入產(chǎn)出模型的計(jì)算機(jī)控制。

[關(guān)鍵詞] 動(dòng)態(tài)投入產(chǎn)出模型 經(jīng)濟(jì)控制論 計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)

近來(lái)，經(jīng)濟(jì)學(xué)家逐漸重視經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)控制問(wèn)題的研究。最初計(jì)算機(jī)主要用來(lái)求解經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的方程。此后，由于需要對(duì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)進(jìn)行模擬與控制，對(duì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)進(jìn)行計(jì)算機(jī)控制成為研究的熱點(diǎn)。目前，在投入產(chǎn)出問(wèn)題的研究中，投入產(chǎn)出模型一般通過(guò)選取適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)向量等把廣義系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為一般系統(tǒng)。本文將使用線性矩陣不等式直接研究離散廣義模型，提出模型穩(wěn)定的一個(gè)充分條件，并設(shè)計(jì)相應(yīng)的計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)。

一、經(jīng)濟(jì)模型的建立

考慮經(jīng)濟(jì)控制論中的廣義動(dòng)態(tài)投入產(chǎn)出模型：

（1）

其中rankB=r

二、主要結(jié)果

首先考慮的情況，系統(tǒng)（1）轉(zhuǎn)化為

（1-1）。

定理1：離散時(shí)間廣義動(dòng)態(tài)投入產(chǎn)出模型（1-1）是可容許的，如果存在適當(dāng)維數(shù)的矩陣p>0，Q和S滿足：

（3）（4）

其中。

證明：根據(jù)線性代數(shù)，存在兩個(gè)非奇異矩陣M、N滿足

，此時(shí)，S可以選擇為：。

令：，。將上式代入(3)中，我們可以得到

其中。

從上式，可以推出<0，并且矩陣T4是非奇異的。令:T＝I-A+B。

則有。

顯然是不恒等于零的，且其次數(shù)為rankB，所以是不恒等于零，并且。因此模型（1-1）是正則、因果的。則根據(jù)，存在兩個(gè)非奇異矩陣和使得，。

此時(shí)S可以選作:。定義 。

把上面兩式代入（3），我們得到：

。

根據(jù)Schur補(bǔ)引理，我們知道，因此的所有根都位于以原點(diǎn)為圓心的單位圓內(nèi)。因此系統(tǒng)（1-1）是穩(wěn)定的。因此也是可容許的。

注記1：定理1提供了一個(gè)離散時(shí)間廣義動(dòng)態(tài)投入產(chǎn)出模型是可容許的充分條件，基于此可以設(shè)計(jì)相應(yīng)的控制器。

定理2：離散時(shí)間廣義動(dòng)態(tài)投入產(chǎn)出模型（1）是可容許的，如果存在適當(dāng)維數(shù)的p>0，Q，G和S滿足：

（5）

其中

。

此時(shí)，狀態(tài)反饋控制器可以設(shè)計(jì)為。

證明：將控制器代入系統(tǒng)（1），則有

（6）

下面我們證明系統(tǒng)（6）是可容許的。根據(jù)（5）則有

根據(jù)定理1，可知系統(tǒng)是可容許的。定理2得證。

三、計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)

根據(jù)定理2，我們利用matlab的LMI工具箱求解相應(yīng)的控制參數(shù)，從而可以設(shè)計(jì)相應(yīng)的計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)。在這里我們考慮參數(shù)如下的系統(tǒng)（1）：，。

容易驗(yàn)證系統(tǒng)（1）的開(kāi)環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。利用matlab得到定理2的解是：，，，。

則控制器可以設(shè)計(jì)為：

。則系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為。

利用計(jì)算機(jī)模擬其狀態(tài)曲線，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

本文利用線性矩陣不等式的方法，對(duì)離散時(shí)間廣義動(dòng)態(tài)投入產(chǎn)出模型進(jìn)行了直接研究而并不需要把廣義系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為一般系統(tǒng)。在本文中，證明了模型穩(wěn)定的充分條件，并設(shè)計(jì)了相應(yīng)的計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)。本文的作者非常感謝所有給文章提出意見(jiàn)和建議的專家學(xué)者。

參考文獻(xiàn):

O. Lang， Introduction to Economic Cybernetics. Pergaman Press， Oxford，1970