摘要： 數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)世界中發(fā)揮著越來越重要的作用。美國(guó)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中明確指出，社會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)思維和問題解決的能力的需要已極大地提高了，能理解并很好地運(yùn)用數(shù)學(xué)的學(xué)生將會(huì)有更多的機(jī)會(huì)，數(shù)學(xué)能力為學(xué)生開辟了廣闊的未來。然而，在實(shí)際的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生普遍遇到解題思路受阻，無法將已學(xué)知識(shí)與實(shí)際問題相聯(lián)系，或不能充分利用好已學(xué)的相關(guān)知識(shí)而使解題方法不佳，以致解題速度不快、解答過程繁冗、解答結(jié)果不準(zhǔn)確等。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)必須重視數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的鍛煉和培養(yǎng)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)如何學(xué)習(xí)的同時(shí)知道如何學(xué)以致用，以增大學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的可利用性。本文就正余弦定理應(yīng)用教學(xué)來談?wù)勅绾闻囵B(yǎng)五年制高職學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和能力。

關(guān)鍵詞： 正余弦定理應(yīng)用 數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí) 數(shù)學(xué)應(yīng)用能力 五年制高職

1.任務(wù)驅(qū)動(dòng)，設(shè)問在先，增強(qiáng)求知欲

“任務(wù)驅(qū)動(dòng)”是一種建立在建構(gòu)主義教學(xué)理論基礎(chǔ)上的教學(xué)法。建構(gòu)主義教學(xué)設(shè)計(jì)原則強(qiáng)調(diào)：學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)必須與任務(wù)或問題相結(jié)合，以探索問題來引動(dòng)和維持學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)機(jī)；建立真實(shí)的教學(xué)環(huán)境，讓學(xué)生帶著真實(shí)的任務(wù)學(xué)習(xí)；學(xué)生擁有學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)，教師不斷地挑戰(zhàn)和激勵(lì)學(xué)生前進(jìn)。

在引入正余弦定理之前可以先布置本次課后的“任務(wù)”：在視覺范圍內(nèi)，有一座不知具體高度的山，現(xiàn)有工具：卷尺、測(cè)角儀，能否得到此山的大致高度？

這樣提出問題的優(yōu)點(diǎn)在于：1.問題生活化，讓學(xué)生意識(shí)到知識(shí)的價(jià)值所在，消除學(xué)生潛意識(shí)里數(shù)學(xué)學(xué)而無用的誤解，激發(fā)探索欲；2.問題簡(jiǎn)潔化，學(xué)生容易接近，易于審題，不會(huì)望題生畏，保護(hù)了學(xué)生的解題自信心。有了這兩點(diǎn)保證，學(xué)生將會(huì)主動(dòng)帶著問題，有目的地去迎接新知識(shí)的引入。

2.認(rèn)清對(duì)象，輕重分明

教師講課不能只是照本宣科，首先必須認(rèn)清自己授課的對(duì)象，他們的知識(shí)基礎(chǔ)、他們的學(xué)習(xí)需求才是授課時(shí)應(yīng)該考慮的重點(diǎn)。對(duì)于中學(xué)生來說，數(shù)學(xué)教學(xué)的目的是為了培養(yǎng)他們的邏輯思維，判斷推理和知識(shí)應(yīng)用等多方面的能力，因此，公式的推導(dǎo)、分析理解及合理應(yīng)用等方面都不可忽視；對(duì)于數(shù)學(xué)專業(yè)的本科生來說，數(shù)學(xué)教學(xué)是為了教會(huì)他們?nèi)绾巫詫W(xué)、如何創(chuàng)新，增加知識(shí)面的深度和廣度，以達(dá)到會(huì)用乃至?xí)倪M(jìn)、會(huì)創(chuàng)新知識(shí)的目的。因此，結(jié)論的推導(dǎo)和分析才是講課的課上重點(diǎn)，在應(yīng)用方面就是學(xué)生自己課后的任務(wù)了，仁者見仁，智者見智。然而，對(duì)于五年制高職的學(xué)生而言，他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的就是為了運(yùn)用，數(shù)學(xué)知識(shí)的研究探討并不是他們的強(qiáng)項(xiàng)，更不是他們學(xué)習(xí)的任務(wù)，所以，對(duì)他們上課時(shí)結(jié)論的推導(dǎo)可以不作要求，知識(shí)的理解和應(yīng)用是關(guān)鍵。

在引入正余弦定理時(shí)，可直接給出結(jié)論：

正弦定理： = = 。

余弦定理：a =b +c +2bc#8226;cosA，b =a +c +2ac#8226;cosB，c =a +b +2ab#8226;cosC。

當(dāng)然，結(jié)論給出后進(jìn)行相應(yīng)的解釋來幫助理解和記憶也是必須的，學(xué)生只有在理解了公式的基礎(chǔ)上才能準(zhǔn)確并靈活運(yùn)用它。

3.運(yùn)用現(xiàn)有結(jié)論，促成派生，擴(kuò)大知識(shí)適用范圍

數(shù)學(xué)中的結(jié)論促成的派生就是我們常說的推論，推論的作用是將已經(jīng)被認(rèn)可和接受的結(jié)論中隱藏的一些結(jié)論用顯性的描述方式表示出來。

例如我們最熟悉的路程公式：s=v#8226;t，利用公式我們可以很明顯地意識(shí)到在速度v和時(shí)間t已知的情況下，路程s可以很方便地由速度和時(shí)間的乘積得到。那么如果知道了路程s和時(shí)間t能否求出速度v呢？對(duì)于我們有一定知識(shí)基礎(chǔ)的人來說答案顯而易見，只要將公式進(jìn)行小小的變形即可求解，但對(duì)于初學(xué)者來說這是一個(gè)難點(diǎn)，因?yàn)檫壿嬐评淼哪芰Σ⒎侨藗兣c生俱來的，它需要我們通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)來一點(diǎn)一滴慢慢培養(yǎng)，而從已知結(jié)論推理出它的派生的過程既是我們邏輯推理能力的到培養(yǎng)的過程，也是我們開拓結(jié)論適用性的過程。

就余弦定理來說：a =b +c +2bc#8226;cosA，b =a +c +2ac#8226;cosB，c =a +b +2ab#8226;cosC。

以上的三個(gè)公式只適用于已知三角形兩邊和它們的夾角求解三角形的情況，然而只要我們將它們作一下變形：

cosA= ，cosB= ，cosC= 。

我們發(fā)現(xiàn)現(xiàn)在的公式適用的情況是已知三邊求三角。到此我們就將余弦定理的適用范圍推廣到兩種情況之下了。如此的思想在以前和今后的學(xué)習(xí)中也是時(shí)有出現(xiàn)。

4.歸納總結(jié)，增強(qiáng)知識(shí)結(jié)構(gòu)的整體性與概括性

知識(shí)結(jié)構(gòu)就是知識(shí)在人們頭腦中的系統(tǒng)組織，它具有整體性和概括性。認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，知識(shí)結(jié)構(gòu)的整體性越強(qiáng)、概括水平越高，就越有利于學(xué)習(xí)的保持與遷移。因此，在教學(xué)中我們必須隨著該教學(xué)進(jìn)度的推進(jìn)，及時(shí)歸納總結(jié)已學(xué)內(nèi)容的規(guī)律，以促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)概括水平的不斷提高，最終促使學(xué)生高效高質(zhì)地整體掌握該單元，從而形成整體性強(qiáng)、概括程度高的知識(shí)結(jié)構(gòu)。

在學(xué)習(xí)正余弦定理之前應(yīng)該先讓學(xué)生思考一下：要確定一個(gè)三角形（即確定三角形的三邊和三角這六個(gè)量）至少需要那些已知條件？提示：利用三角形全等的判定定理，發(fā)現(xiàn)六個(gè)量一般只要知道其中的三個(gè)量就可以確定三角形了，也就是說三角形中已知三個(gè)量可以求解其余的三個(gè)量。但是有一種情況需要排除：已知三角形的三個(gè)角要求三條邊，顯然這種情況只能得到一些相似的三角形，即解有無數(shù)組，并不能唯一確定三角形，而除此之外的已知三個(gè)量都可以唯一確定三角形，即可以求解其余三個(gè)量。

那么具體的求解過程需要用到那些相應(yīng)的知識(shí)呢？就是我們的正余弦定理，并且在給出我們的結(jié)論時(shí)總結(jié)出他們各自的適用情況也是必不可少的。

給出正弦定理： = = ，

根據(jù)公式觀察發(fā)現(xiàn)適用范圍：

（1）已知兩邊和它們其中一邊的對(duì)角求解三角形。

（2）已知兩角和任意的一邊求解三角形。

給出余弦定理：a =b +c +2bc#8226;cosA，b =a +c +2ac#8226;cosB，c =a +b +2ab#8226;cosC。

根據(jù)公式觀察發(fā)現(xiàn)適用范圍：（3）已知兩邊和它們的夾角求解三角形。

給出余弦定理的推論：cosA= ，cosB= ，cosC= 。

根據(jù)公式觀察發(fā)現(xiàn)適用范圍：（4）已知三邊求三角。

至此我們可以很直接地看到正余弦定理的用途。

5.注意策略的教學(xué)與培養(yǎng)，增強(qiáng)知識(shí)的可利用性

智育的目標(biāo)是：第一，通過記憶，獲得語義知識(shí)，即關(guān)于世界的事實(shí)性知識(shí)，這是較簡(jiǎn)單的認(rèn)知學(xué)習(xí)。第二，通過思維，獲得程序性知識(shí)，即關(guān)于辦事的方法與步驟的知識(shí)，這是較復(fù)雜的認(rèn)知學(xué)習(xí)。第三，在上述學(xué)習(xí)的同時(shí)，獲得策略知識(shí)，即控制自己的學(xué)習(xí)與認(rèn)知過程的知識(shí)，學(xué)會(huì)如何學(xué)習(xí)，如何思維運(yùn)用，這是更高級(jí)的認(rèn)知學(xué)習(xí)，也是人類學(xué)習(xí)的根本目的。

在學(xué)習(xí)中，如果學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中缺乏策略或策略的水平不高，那么學(xué)生的學(xué)習(xí)效果就不好，特別是在解題過程中，就會(huì)造成不能利用已學(xué)的相關(guān)知識(shí)而找不到解題途徑，或解題思路受阻，或解題方法不佳，以致解題速度不快、解答過程繁冗、解答結(jié)果不準(zhǔn)確等。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)必須重視策略的教學(xué)和培養(yǎng)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)如何學(xué)習(xí)和如何思維，以增大學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的可利用性。

要做到這一點(diǎn)必須由淺入深，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜。在我們給出公式并道明其適用范圍后應(yīng)當(dāng)例舉一些相應(yīng)的有針對(duì)性的習(xí)題加以練習(xí)，如適用范圍（1）給出后應(yīng)接著給出：

例一：在△ABC中，已知a=20，b=10，A=60°，求解三角形；

并思考例二：在△ABC中，已知a=20，b=30，A=30°，求解三角形。

通過求解例題讓學(xué)生對(duì)正余項(xiàng)定理有更加直觀和深刻的理解，以便將它們靈活應(yīng)用到實(shí)際問題當(dāng)中去。

6.重視一題多解和錯(cuò)解分析（多解的習(xí)題要有意講評(píng)，例題講解可故意設(shè)錯(cuò)）

錯(cuò)解分析能使學(xué)生注意到解答容易出錯(cuò)的關(guān)鍵所在，同時(shí)使學(xué)生體驗(yàn)到解題策略調(diào)節(jié)的必要性和方法，防止今后犯類似的錯(cuò)誤，增強(qiáng)學(xué)生解題糾錯(cuò)力。

就以上所舉的例一、例二而言，兩例貌似題型相同，實(shí)則答題結(jié)果卻有差別。

例一：利用正弦定理： = 可以很容易得到，sinB=b×sinA/a=10×sin60°/20= ，B≈25.7°，C=180°-A-B=94.3°，c=a×sinc/sinA=20×sin94.3°/（ ）≈23。

例二：利用正弦定理： = 也可以得到sinB=b×sinA/a=30×sin30°/20= ，然而此時(shí)的B≈48.6°或B≈131.4°，相應(yīng)地C和c也應(yīng)該有兩組解。

通過以上兩例解答的比較學(xué)生的答題謹(jǐn)慎度將能得到較大提高。

7.準(zhǔn)備充分，挑戰(zhàn)實(shí)戰(zhàn)

在對(duì)理論知識(shí)有了充分的了解和認(rèn)識(shí)后，就應(yīng)該回到我們最初的目標(biāo)——解決實(shí)際問題中去，以達(dá)到學(xué)以致用。構(gòu)造三角形，利用正余弦定理，通過測(cè)量一些可以直接量得的邊和角的數(shù)據(jù)來間接計(jì)算出不可直接測(cè)得的山高。由此學(xué)生不僅體會(huì)到了知識(shí)的偉大，還得到了學(xué)習(xí)的動(dòng)力，學(xué)習(xí)積極性必將大大提高。

參考文獻(xiàn)：

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注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文?！?/p>