[摘要]問題是數(shù)學(xué)的心臟，是創(chuàng)造思維的源泉，因此把數(shù)學(xué)教學(xué)建構(gòu)在“問題”基礎(chǔ)之上，不僅符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，也符合“以人為本”的現(xiàn)代教育思想，而且也較好體現(xiàn)了“大眾數(shù)學(xué)”的精神。本文從培養(yǎng)學(xué)生問題意識(shí)和問題解決能力等方面對(duì)初中數(shù)學(xué)問題教學(xué)進(jìn)行探討。

[關(guān)鍵詞]問題教學(xué) 問題意識(shí) 問題解決 策略方法

數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維過程的教學(xué)，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程是頭腦中構(gòu)建數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程。問題是數(shù)學(xué)的心臟，是創(chuàng)造思維的源泉，因此把數(shù)學(xué)教學(xué)構(gòu)建在“問題”基礎(chǔ)之上，不僅符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，也符合“以人為本”的現(xiàn)代教育思想，而且也較好體現(xiàn)了“大眾數(shù)學(xué)”的精神。

一、讓學(xué)生參與到發(fā)現(xiàn)和提出“問題”中來

數(shù)學(xué)教學(xué)的根本目的之一在于教學(xué)生學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)問題和提出問題。但是傳統(tǒng)的課堂教學(xué)，提問成了老師的專利，回答成了學(xué)生的任務(wù)，課堂上一問一答，看似熱熱鬧鬧，但對(duì)學(xué)生各方面能力的培養(yǎng)是極其不利的。陶行知先生說：“創(chuàng)造始于問題”。有了問題人們才會(huì)思考，才會(huì)自主探索、合作學(xué)習(xí)和相互交流；有了問題不一定就有創(chuàng)造，但沒有問題就一定沒有創(chuàng)造。因此，教學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，不僅是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，而且對(duì)學(xué)生們今后走上社會(huì)乃至一生都是十分重要的。從這個(gè)意義上說，發(fā)現(xiàn)問題比解決問題更為重要。我們應(yīng)該讓學(xué)生帶著問題走進(jìn)課堂，帶著更多問題走出課堂，正所謂課前多“問”，課后“問”多。整節(jié)課以問題為中心，不斷提出問題，分析問題和解決問題，充分發(fā)揮學(xué)生的主體性，讓學(xué)生通過自學(xué)與探究，主動(dòng)地獲取新知識(shí)。

1.讓學(xué)生建立起“問題意識(shí)”

雖然行為決定意識(shí)，但反過來意識(shí)也支配行動(dòng)?？v觀在數(shù)學(xué)上有成就的人，大腦中都裝滿了問題意識(shí)。因此，我們要教導(dǎo)學(xué)生：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，腦子里必須始終充滿疑問，不要滿足于眼前的“撞”，而要探究在“撞”的背后究竟還有多少不懂，越是“撞”，越要多問幾個(gè)為什么；越是對(duì)自己的學(xué)習(xí)充滿疑問，就越能夠找出多個(gè)疑點(diǎn)并由此切入而最終發(fā)現(xiàn)問題。

2.讓學(xué)生學(xué)會(huì)讀書質(zhì)疑

從本質(zhì)上講，學(xué)生要想學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)，最終是靠自己去想懂，而不是僅僅靠老師去講懂。其中一條途徑是課上在老師指導(dǎo)下自主探索、獨(dú)立思考；另一條途徑是自己課下閱讀數(shù)學(xué)教材。實(shí)踐證明，后者比前者更重要，學(xué)生的問題更多來自學(xué)生在向課本討教之后。因此，教師應(yīng)該教學(xué)生學(xué)會(huì)怎樣閱讀教材，讓學(xué)生在閱讀中發(fā)現(xiàn)并且提出問題。

3.讓學(xué)生學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)問題的方法

教師教給學(xué)生提問的方法結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科的自身特點(diǎn)，給學(xué)生提供質(zhì)疑的“技術(shù)”保證，即教給學(xué)生提問的方法。

（1）否定結(jié)論法。這是美國人首先提出并建議在學(xué)校中推行的方法，比如對(duì)于結(jié)論未定的問題，如果尋找不到支持某結(jié)論成立的實(shí)例，可以從反面思考，尋找或構(gòu)思出否定結(jié)論的實(shí)例；或者從題目的某些條件或結(jié)論入手，對(duì)所給錯(cuò)誤結(jié)論，逐一加以否定，從而作出正確的選擇。

（2）開放問題法。在對(duì)“原問題”的條件、結(jié)論和解法三個(gè)維度實(shí)施開放的過程中，可以連帶產(chǎn)生許多新的問題。深入研究一個(gè)開放問題，能夠加強(qiáng)對(duì)該問題涉及的整個(gè)知識(shí)塊的把握，從而達(dá)到以點(diǎn)帶面的效果。

（3）批判質(zhì)疑法。不迷信教師，不迷信課本，敢于挑戰(zhàn)權(quán)威。從“不能”處求得可能，從“嚴(yán)格”中發(fā)現(xiàn)疏漏。

（4）歸納猜想法。人從小就有很好的歸納猜想能力，這是一種人類認(rèn)識(shí)世界的基本能力。“歸納——猜想——證明”被稱為數(shù)學(xué)家的活動(dòng)，一直是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的最基本的模式。但在平時(shí)的教學(xué)中，由于教師重視不夠，學(xué)生從普遍現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)規(guī)律的能力得不到有效培養(yǎng)，使他們的歸納猜想能力沒能得到提高甚至受到削弱。例如，在學(xué)習(xí)了三角形內(nèi)角和定理后，教師可以讓學(xué)生通過觀察和實(shí)驗(yàn)去探索四邊形、五邊形，六邊形等多邊形的內(nèi)角和問題，然后通過歸納得到多邊形內(nèi)角和定理。通過探究歸納，不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，科學(xué)探索精神，而且可以使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中獲得成功的體驗(yàn)，從而建立自信心，這對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生形成完整的獨(dú)立人格具有重要的作用。

成功的質(zhì)疑教學(xué)應(yīng)該讓學(xué)生盡情表現(xiàn)自我，充分發(fā)表意見；教師要適應(yīng)學(xué)生，而不是學(xué)生適應(yīng)教師。因此，教師要盡可能讓每個(gè)學(xué)生把想法講完，把話說盡，千萬不能因?yàn)閱栴}提得不好而當(dāng)頭一棒，應(yīng)該最大限度地保護(hù)和培養(yǎng)學(xué)生的“問題意識(shí)”。

二、讓學(xué)生參與到“問題”的設(shè)計(jì)與解決中來

1.設(shè)計(jì)問題要從學(xué)生原有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)入手

新知識(shí)又是舊知識(shí)的自然延續(xù)和升華，因此從學(xué)生原有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)入手設(shè)計(jì)問題，可以讓學(xué)生親歷知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程，使學(xué)生在知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程中獲取知識(shí)，在探索中獲得快樂。因此，師生精心設(shè)計(jì)課堂教學(xué)的每一個(gè)問題，特別是學(xué)生身邊的實(shí)際問題，則可以讓數(shù)學(xué)教學(xué)格外生動(dòng)、有趣。例如，“由于水資源的缺乏，需要從A地向B、C兩地鋪設(shè)地下飲水管道。經(jīng)測(cè)定△ABC為等邊三角形，問如何設(shè)計(jì)，才能使鋪設(shè)線路最短？”教師要精心組織學(xué)生設(shè)計(jì)方案，通過組織方案的設(shè)計(jì)、展示反饋、講評(píng)，使學(xué)生體會(huì)到我是一名“工程師”。

在數(shù)學(xué)問題的設(shè)計(jì)中，教師要注重指導(dǎo)學(xué)生把數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)模型用于探究所提出的問題。例如，在學(xué)生已經(jīng)掌握三角形中邊角關(guān)系及平面上周角的有關(guān)知識(shí)后，可給出這樣的問題：“有若干個(gè)城市，它們之間的距離彼此互不相等。如果從每個(gè)城市都起飛一架飛機(jī)到離該城市最近的城市降落，證明：每個(gè)城市降落的飛機(jī)都不超過五架。”這個(gè)問題可以通過構(gòu)造平面幾何模型，應(yīng)用簡(jiǎn)單的幾何知識(shí)得到解決。

2.讓學(xué)生參與到實(shí)際生活中設(shè)計(jì)并解決問題

從數(shù)學(xué)教育的角度看，問題解決的意義在于學(xué)生以積極探索的態(tài)度，綜合運(yùn)用已經(jīng)具有的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，創(chuàng)造性地解決來自數(shù)學(xué)課或?qū)嶋H生活和生產(chǎn)實(shí)際中的新問題的學(xué)習(xí)活動(dòng)。

例1.小明家使用的是分時(shí)電表，按平時(shí)段（6：00－22：00）和谷時(shí)段（22：00－次日6：00）分別計(jì)費(fèi)，平時(shí)段每度電價(jià)為0.61元，谷時(shí)段每度電價(jià)為0.30元，小明將家里2008年1月至5月的平時(shí)段和谷時(shí)段的用電量分別用折線圖表示（如圖1），同時(shí)將前4個(gè)月的用電量和相應(yīng)電費(fèi)制成表格（如表1），根據(jù)上述信息，解答下列問題：

（1）計(jì)算5月份的用電量和相應(yīng)電費(fèi)，將所得結(jié)果填入表1中；

（2）小明家這5個(gè)月的月平均用電量為_______度；

（3）小明家這5個(gè)月的月平均用電量呈_______趨勢(shì)（選擇“上升”或“下降”）；這5個(gè)月每月電費(fèi)呈_______趨勢(shì)（選擇“上升”或“下降”）；

（4）小明預(yù)計(jì)7月份家中用電量很大，估計(jì)7月份用電量可達(dá)500度，相應(yīng)電費(fèi)將達(dá)243元，請(qǐng)你根據(jù)小明的估計(jì)；

（5）計(jì)算出7月份小明家平時(shí)段用電量和谷時(shí)段用電量。

分析：由題目我們知道電費(fèi)與用電量之間存在著一定的函數(shù)關(guān)系，只不過要分兩種方式計(jì)算：總電費(fèi)=0.61×平時(shí)段用電量+0.30×谷時(shí)段的用電量。只要代入一個(gè)月的兩個(gè)時(shí)段的用電量，就可以計(jì)算出該月的電費(fèi)。（具體解答略）

數(shù)學(xué)教育越來越強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的應(yīng)用，這是當(dāng)前國際數(shù)學(xué)教育的重要?jiǎng)酉?。義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程，特別強(qiáng)調(diào)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)的培養(yǎng)。學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)主要表現(xiàn)在：①認(rèn)識(shí)到現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)涵著大量的數(shù)學(xué)信息、數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)世界中有著廣泛的應(yīng)用。②面對(duì)實(shí)際問題時(shí)，能主動(dòng)嘗試著從數(shù)學(xué)的角度運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和方法尋求解決問題的策略。比如學(xué)生學(xué)習(xí)了等邊三角形和直角三角形知識(shí)以后，可以利用所學(xué)知識(shí)解決問題。③面對(duì)新的數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，能主動(dòng)地尋找其實(shí)際背景，并探索其應(yīng)用價(jià)值。比如實(shí)際生活中的美化環(huán)境，花園的設(shè)計(jì)工作；節(jié)約資源，降低工程造價(jià)；建造房屋時(shí)，怎樣使居室透光面積最多；環(huán)境污染問題的調(diào)查；節(jié)約用水等現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用問題。因此，教師要有意識(shí)、有計(jì)劃地布置學(xué)生進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐調(diào)查，作一些數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析，例如我國人口的變化，某地區(qū)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展?fàn)顩r，人才市場(chǎng)的需求，環(huán)境綠化等，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問題，提出問題并找到解決問題的策略和方法，寫成報(bào)告，上交有關(guān)部門參考。

3.使學(xué)生參與到數(shù)學(xué)開放題的探究中來

條件、結(jié)論、解題的方法策略諸項(xiàng)目中，部分或全部不封閉（不惟一、不確定）的數(shù)學(xué)問題稱為數(shù)學(xué)開放題。開放題內(nèi)容豐富、題材廣泛、背景新穎，貼進(jìn)學(xué)生生活實(shí)際；形式多樣，有文字、表格、圖畫、對(duì)話等，不像封閉性習(xí)題形式單一，敘述呆板；同時(shí)，開放題解法靈活，不單靠記憶、套模式來解題，深受學(xué)生喜愛。由于開放題的答案不唯一，解題時(shí)需要運(yùn)用多種思維方法，通過多角度、全方位的分析探索，獲得多種結(jié)論，這就為學(xué)生提供了充分發(fā)揮創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新精神的時(shí)空途徑。開放性問題以其良好的教學(xué)功能和價(jià)值正越來越受到廣泛的重視和應(yīng)用。

例2.如圖，點(diǎn)M是直線Y=2X+3上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN垂直X軸于點(diǎn)N，Y軸上是否存在點(diǎn)P，使P、M、N為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形。小明發(fā)現(xiàn)：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到（-1，1）時(shí)，Y軸上存在點(diǎn)P（0、1）此時(shí)有MN=MP，能使△MNP為等腰直角三角形。在Y軸和直線上還存在符合條件的點(diǎn)P和點(diǎn)M，請(qǐng)你寫出其他符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)。

分析：該題結(jié)論明確，條件開放，只須抓住△MNP為等腰直角三角形這一條件，分NP為底邊和腰兩種情況討論。此類題就用數(shù)學(xué)常用的分析法，從問題的結(jié)論出發(fā)，逆向思維，根據(jù)結(jié)論和已知條件尋找使結(jié)論成立的其他條件。這種逆向思考，有助于學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維的發(fā)展。

例3.寫出經(jīng)過點(diǎn)（-1，1）的函數(shù)

分析：該題由于函數(shù)解析式未告知，于是所確定的函數(shù)可能是直線，雙曲線，拋物線等，結(jié)論開放，可分情況討論，即考查數(shù)學(xué)的基本方法——待定系數(shù)法，又訓(xùn)練了學(xué)生的發(fā)散性思維和對(duì)所學(xué)知識(shí)的應(yīng)用能力。

例4.如圖、點(diǎn)E在AB上，AC=AD，請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使圖中存在全等三角形，并給予證明。

分析：這是條件和結(jié)論開放題，雖然結(jié)論是兩個(gè)三角形全等，但是哪些三角形全等不確定。故利用判定兩三角形全等的定理來找結(jié)論成立的條件。這就要求對(duì)幾何圖形的定義，性質(zhì)、判定等內(nèi)容相當(dāng)熟悉，同時(shí)，在思考過程中轉(zhuǎn)向發(fā)現(xiàn)，猜想和探究，培養(yǎng)學(xué)生一題多解，多變的能力。

4.使學(xué)生參與到解題思維的全過程中來

初中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該以學(xué)習(xí)過程和方法為主，尤其在一些典型的數(shù)學(xué)問題教學(xué)中，應(yīng)注意傳授學(xué)生比較完整的解決實(shí)際問題的過程和常用方法，對(duì)于一些技巧性的問題和繁雜的證明不應(yīng)該過多強(qiáng)調(diào)，以提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。例如教學(xué)一元二次方程時(shí)，為了讓學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)完整的科學(xué)研究的過程，教師可引用生活中的實(shí)例：學(xué)校準(zhǔn)備在宿舍樓后面修建一個(gè)面積為50平方米的長(zhǎng)方形自行車棚。一方面，利用宿舍樓的一堵后墻，另一方面，利用已有總長(zhǎng)為25米的鐵圍欄，請(qǐng)你設(shè)計(jì)：如何搭建較合適？學(xué)生列出方程后跟學(xué)一元一次方程比較，很自然提出疑問，這是個(gè)什么方程？這種方程如何求解？再現(xiàn)“過程”，學(xué)生就有了一個(gè)積極思考的過程。教師引導(dǎo)學(xué)生的觀察、類比和猜想，進(jìn)而鼓勵(lì)學(xué)生提出合理的疑問并積極探究。正是這樣通過學(xué)生的自主探究，合作學(xué)習(xí)，討論交流，能夠充分展示學(xué)生數(shù)學(xué)思維的全過程。

三、讓學(xué)生參與到“問題”的反思和總結(jié)中來

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的反思是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的核心和動(dòng)力，是一種重要的數(shù)學(xué)元認(rèn)知能力，也是學(xué)生進(jìn)行高水平、高效率、高質(zhì)量的數(shù)學(xué)認(rèn)知所必不可少的環(huán)節(jié)和本領(lǐng)。荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家費(fèi)賴登塔爾教授指出：“反思是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的核心和動(dòng)力”，“通過反思才能使現(xiàn)實(shí)世界數(shù)學(xué)化”。新課標(biāo)在第三學(xué)段(7一9年級(jí))的問題解決部分明確提出：“通過對(duì)解決問題過程的反思，獲得解決問題的經(jīng)驗(yàn)?！?/p>

1.使學(xué)生參與到課堂練習(xí)中來

組織學(xué)生自我編題，自我解答，相互交流，讓學(xué)生自我反饋、自我矯正；在概念的辨析、法則的應(yīng)用、規(guī)律的探究、各類數(shù)學(xué)題的練習(xí)中正確掌握數(shù)學(xué)分析方法，發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律與技巧，以及如何糾正錯(cuò)誤等。

2.使學(xué)生參與到課堂小結(jié)中來

通過師生的共同探究、合作學(xué)習(xí)，讓學(xué)生談一談學(xué)習(xí)收獲和體會(huì)。在教師的引導(dǎo)下讓學(xué)生歸納所學(xué)數(shù)學(xué)概念、知識(shí)重點(diǎn)，解題方法和解題規(guī)律以及存在的問題。這樣可以發(fā)現(xiàn)問題，以便及時(shí)反饋和矯正。

數(shù)學(xué)因問題而豐富多彩和具有價(jià)值；數(shù)學(xué)也因問題變得越來越有教頭、學(xué)頭和奔頭。因此，不論是抓問題還是抓數(shù)學(xué)理論與實(shí)踐相結(jié)合，學(xué)生如果能夠?qū)W會(huì)自己發(fā)現(xiàn)問題，并通過獨(dú)立思考自己去發(fā)現(xiàn)知識(shí)的形成過程和來龍去脈，能夠運(yùn)用舊知識(shí)去解釋一些新知識(shí)或提出一些新見解，并且能夠建立屬于自己的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)和知識(shí)體系，這已經(jīng)是學(xué)習(xí)的創(chuàng)新了。讓學(xué)生參與到“問題”中來，這是我們數(shù)學(xué)教師研究和實(shí)踐的永恒課題。

參考文獻(xiàn)：

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(作者單位：浙江天臺(tái)縣坦頭中學(xué)）