在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的今天，快餐業(yè)的競(jìng)爭(zhēng)也日漸激烈，于是快餐店經(jīng)營者希望采取的策略有一個(gè)定性、定量的分析。某些快餐店公宣布：若顧客等待超過一定時(shí)間，那么可以免費(fèi)享受所訂的快餐。經(jīng)營者希望對(duì)于此策略的利弊有一個(gè)定量的分析，本文在最佳服務(wù)時(shí)間模型的基礎(chǔ)上給出解決這個(gè)問題的一種方法：基于指數(shù)分布的快餐店最佳服務(wù)時(shí)間模型。

一、模型的建立與求解

模型假設(shè):顧客平均到達(dá)率為為平均到達(dá)間隔；快餐店平均服務(wù)率為平均服務(wù)時(shí)間，且。設(shè)的最大值，當(dāng)時(shí)承諾無吸引力，不妨設(shè)此時(shí)。設(shè)每位顧客的訂餐費(fèi)為，成本為。

模型建立:可假設(shè)顧客等待時(shí)間（記做隨機(jī)變量Y）服從參數(shù)的指數(shù)分布，即

對(duì)于等待時(shí)間為Y的每位顧客設(shè)店方獲得的利潤為，則在宣布承諾時(shí)間為u的情況下有，利潤Q的期望值為，因?yàn)榈竭_(dá)的平均時(shí)間間隔為c，所以單位時(shí)間利潤的期望值為。

建模的目的是確定承諾時(shí)間u使利潤最大。

下面根據(jù)c和u關(guān)系的假設(shè)確定函數(shù)c(u)。因?yàn)榭梢约俣–(0)=0（理解為的時(shí)候顧客將無窮多），當(dāng)時(shí)（因?yàn)檫@時(shí)相當(dāng)于不作承諾），所以若假設(shè)在時(shí)，c與u成正比，并且由于的基本要求。必須。于是可表示為：

則，其中

中除u外均為已知常數(shù)，問題化為求u使最大。

模型求解：對(duì)于按u的不同范圍分別求解。

當(dāng)，用微分法求出u的最優(yōu)值應(yīng)滿足:

且算出的最大值為:。

當(dāng)，顯然，時(shí)，最大，且

比較和可知，可得最大值問題解應(yīng)為：

進(jìn)一步分析可作承諾的條件，記則（9）式變?yōu)?，

由此推出:，有，因?yàn)閍為的函數(shù)，即

若定義:，則當(dāng)給定時(shí)，快餐店可以作承諾的條件可以表示為平均服務(wù)時(shí)間d滿足，在這個(gè)條件下最優(yōu)承諾時(shí)間可確定。與不作承諾時(shí)的利潤相比，此時(shí)的利潤為：。

二、模型檢驗(yàn)

表

如表的假設(shè)下，問能否承諾服務(wù)了免費(fèi)供餐。若店方有能力將平均服務(wù)時(shí)間縮短到d=30秒，問能否承諾。承諾時(shí)間的最優(yōu)值和利潤可比目前增加值是否可求。

根據(jù)模型求解，可將代入可得

利用mathematica解方程得到，運(yùn)行結(jié)果中，將其代入可得到（秒）。目前的平均服務(wù)時(shí)間秒，不滿足條件，所以不能對(duì)顧客做承諾。

當(dāng)平均服務(wù)時(shí)間縮短至秒時(shí)，滿足條件，店方可做出承諾，且分，此時(shí)顧客的平均到達(dá)時(shí)間由原來的分縮短到分。此時(shí)利潤 ，即利潤提高了.

本文對(duì)于顧客到達(dá)規(guī)律、服務(wù)時(shí)間和排隊(duì)規(guī)律，以及在承諾“服務(wù)慢了將免費(fèi)供餐”以后，承諾的時(shí)間與顧客的增多之間的關(guān)系做了合理的假設(shè)，給出了基于指數(shù)分布的快餐店最佳服務(wù)時(shí)間模型，并給出了模型的解析解，最后又進(jìn)行了實(shí)例檢驗(yàn)，從理論和數(shù)值上都驗(yàn)證了改模型的合理性和可用性。這對(duì)于最佳服務(wù)時(shí)間模型的研究和應(yīng)用有重要的意義。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。