題目 一個(gè)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的均勻磁場(chǎng)，垂直于一軌距為l的導(dǎo)軌平面，軌道平面與水平面有α的傾角，軌道電阻不計(jì)。一根無(wú)摩擦的導(dǎo)體棒，質(zhì)量為m，橫跨在兩根金屬導(dǎo)軌上，如圖1所示?，F(xiàn)無(wú)初速度釋放導(dǎo)體棒。

(1)若兩金屬軌之間接有阻值為R的電阻，求棒的穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；

(2)若兩金屬軌之間接電動(dòng)勢(shì)為E，內(nèi)阻為r的電源，如圖2所示，求棒的穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；

(3)若兩金屬軌之間接有電容C，求棒的穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；

(4)若兩金屬軌之間接有電感L，求棒的穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

分析與解 (1)剛釋放導(dǎo)體棒時(shí)，導(dǎo)體棒受到一個(gè)沿導(dǎo)軌向下的重力的分力，

F=mgsinα。

此時(shí)棒的加速度為：

a=gsina。

導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)后，產(chǎn)生動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)Blv，回路中就產(chǎn)生感應(yīng)電流，這使棒受到與F力反向的安培力Fm，從而使合力減小，導(dǎo)體棒做加速度減小的變速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)Fm=mgsinα?xí)r加速度減為零、棒達(dá)到收尾速度vm。

B#8226;BlvmRl=mgsinα，

可得收尾速度為：

vm=mgRB2l2sinα。

(2)剛釋放導(dǎo)體棒時(shí)，導(dǎo)體棒受到一個(gè)沿導(dǎo)軌向下的重力的分力F1和安培力F2，則有

F1=mgsinα，

F2=BErl。

此時(shí)棒的加速度為：

a=gsinα+BElmr。

導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)后，產(chǎn)生動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)E′=Blv，與電源電動(dòng)勢(shì)反向，回路電流減小。當(dāng)動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)等于電源電動(dòng)勢(shì)時(shí)，I=0，加速度減小到gsinα。此后，速度繼續(xù)增大，動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)大于電源電動(dòng)勢(shì)，電流反向，安培力向上，導(dǎo)體棒做加速度減小的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)Fm=mgsinα?xí)r加速度減為零、棒達(dá)到收尾速度vm，

B#8226;Blvm-Erl=mgsinα，

可得收尾速度為：

vm=mgrsinα+BlEB2l2。

若電源與圖示方向相反，則收尾速度為：

vm=mgrsinα-BlEB2l2。

(3)剛釋放導(dǎo)體棒時(shí)，導(dǎo)體棒受到一個(gè)沿導(dǎo)軌向下的重力的分力，

F=mgsinα。

此時(shí)棒的加速度為

a=gsinα。

運(yùn)動(dòng)的棒產(chǎn)生的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)對(duì)電容器充電，充電電流為

i=C#8226;ΔεΔt=C#8226;BlΔvΔt。

隨著棒速度增大，棒上電動(dòng)勢(shì)不斷增大，能持續(xù)充電，因而使棒總受到與F力反向的安培力Fm，棒的動(dòng)力學(xué)方程為

mgsinα-BlCBlΔvΔt=ma，

即mgsinα-B2l2C a=ma。

可見棒以加速度a=mgsinαm+B2l2C做勻加速運(yùn)動(dòng)。

(4)導(dǎo)體棒與電感線圈構(gòu)成回路，棒的初始加速度a=gsinα。

開始運(yùn)動(dòng)后，隨著速度增大，產(chǎn)生的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)增大，增大的電流通過(guò)電感線圈，使線圈兩端的電壓隨動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)而增大，電壓與電流有關(guān)系Blv=LΔIΔt，即

ΔI=BlvΔtL=BlLΔx。

因初始時(shí)I=0，x=0，可知棒開始運(yùn)動(dòng)后棒上電流與棒的位移成正比，即

I=BlLx。

棒的運(yùn)動(dòng)方程為

mgsinα-BlBlLx=ma，即

ma=mgsinα-B2l2Lx。

當(dāng)加速度a=0時(shí)，

x0=mgLsinαB2l2，令x′=x-x0則

ma=mgsinα-B2l2L(x′-x0)

=mgsinα-B2l2L(x′-mgLsinαB2l2)

=-B2l2Lx′。

這說(shuō)明棒所受的合力為與棒對(duì)平衡位置的位移x′成正比而方向相反的線性力，棒做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)周期

T=2πmLB2l2。

振幅A=mgLsinαB2l2即x0。

振動(dòng)方程

x′=mgLsinαB2l2cos(B2l2mLt+π)。

上述問(wèn)題中，題設(shè)條件中只有細(xì)微差別，但結(jié)果則完全不同．(1)中兩導(dǎo)軌間接電阻，棒的穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是勻速直線運(yùn)動(dòng)．從能量角度來(lái)看是重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為電能再轉(zhuǎn)化為內(nèi)能；(2)中兩導(dǎo)軌間接電源，導(dǎo)體棒的穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是勻速直線運(yùn)動(dòng)，電源只影響收尾速度的大??；(3)中兩導(dǎo)軌間接電容，棒的穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是勻加速直線運(yùn)動(dòng)，重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為電容器的電場(chǎng)能和焦耳熱；(4)中兩導(dǎo)軌間接電感，棒的穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，機(jī)械能磁場(chǎng)能相互轉(zhuǎn)化。

練習(xí)

在與勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域垂直的水平面上有兩根足夠長(zhǎng)的平行金屬導(dǎo)軌，電阻不計(jì)。在它們上面放著兩根平行導(dǎo)體棒，每根長(zhǎng)度均為l，質(zhì)量均為m，如圖5所示，導(dǎo)體棒可在導(dǎo)軌上無(wú)摩擦地滑動(dòng)，開始時(shí)兩棒相距d，左棒靜止，右棒具有向右的初速度v0。

(1)若兩棒的電阻均為R，求兩棒的穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)情況及流過(guò)兩棒的電量、兩棒間距離的最大增量。

(2)若左棒中嵌有電容C，如圖6所示，求兩棒穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)情況(電容的體積不計(jì)且不計(jì)棒的電阻）。

答案 （1）v1=v2=v02，q=mv02Bl，

Δdm=2RqBl=Rmv0B2l2。

（2）v右=B2l2C+m2B2l2C+mv0，

v左=B2l2C2B2l2C+mv0。

分析與解 (1）題中，兩棒通過(guò)導(dǎo)軌構(gòu)成回路，兩棒產(chǎn)生的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)互為反電動(dòng)勢(shì)，右棒E1=Blv1，左棒E2=Blv2，電路中右棒受安培力作用而減速運(yùn)動(dòng)，左棒則受安培力作用從靜止開始加速，由于系統(tǒng)不受外力，總動(dòng)量守恒，故有mv0=mv1+

mv2，當(dāng)v1=v2=v02時(shí)，兩棒均做勻速直線運(yùn)動(dòng)。

兩棒電阻串聯(lián)，通過(guò)每棒的感應(yīng)電流電量相等，任取其中一棒例如左棒，由動(dòng)量定理：

Blqtt=mv02，

得q=mv02Bl。

若設(shè)兩棒間距離的最大增量Δdm，則由q=t=BlΔdm2Rt#8226;t，得Δdm=2RqBl=Rmv0B2l2。

(2)兩棒組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，

mv0=mv左+mv右，

得：v左+v右=v0。①

左棒產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)為：

E左=BLv左。②

右棒產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)為：

E右=Blv右。③

對(duì)左棒應(yīng)用動(dòng)量定理有：

BlΔt=mv左，

流過(guò)兩棒的電量，

q=Δt=mv左Bl。

電容器兩端電壓為：

U=qC=mv左BlC，④

達(dá)到穩(wěn)定時(shí)有：

E右=E左+U。⑤

將②③④代入⑤得，

Blv右=Blv左+mv左BlC。⑥

聯(lián)立①⑥可得兩棒的穩(wěn)定速度為：

v右=B2l2C+m2B2l2C+mv0，⑦

v左=B2l2C2B2l2C+mv0。⑧

(欄目編輯羅琬華)