習(xí)題教學(xué)是當(dāng)前高中物理教學(xué)中出現(xiàn)頻率很高的教學(xué)過(guò)程。在習(xí)題教學(xué)中怎樣體現(xiàn)“過(guò)程與方法”目標(biāo)，值得探討。本文以新教材中的一道習(xí)題為基礎(chǔ)，通過(guò)改編與拓展，突出學(xué)生的體驗(yàn)和感悟，逐步培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)素質(zhì)和科學(xué)素養(yǎng)。

1 原題目

物理選修3－1、P.17第7題：如圖1所示，真空中有兩個(gè)點(diǎn)電荷Q1=+4.0×10－8C和Q2＝－10－8C，分別固定在x坐標(biāo)軸的x＝0和x＝6cm的位置上。

（1）x坐標(biāo)軸上哪個(gè)位置的電場(chǎng)強(qiáng)度為零？

（2）x坐標(biāo)軸上哪些地方的電場(chǎng)強(qiáng)度方向是沿x軸正方向的？

解 因Q1＞Q2，故在Q1點(diǎn)的左側(cè)，Q1的電場(chǎng)強(qiáng)度總大于Q2的電場(chǎng)強(qiáng)度，且方向總指向x軸負(fù)半軸，在x＝0和x＝6cm之間，電場(chǎng)強(qiáng)度總沿x軸正方向。故只有在Q2右側(cè)電場(chǎng)強(qiáng)度才有可能為零。

（1）設(shè)該位置距0點(diǎn)的距離為x，則

kQ1x2-kQ2(x-6)2=0，①

即4(x-6)2-x2=0。

解得x1＝4cm（不合題意，舍去），x2＝12cm。

（2）在x軸上（0，6）之間和x＞12cm的地方電場(chǎng)強(qiáng)度的方向是沿x軸正方向的。

2 改編與拓展：

（3）*今有一正試探電荷q放在x軸上，且當(dāng)q的位置限制在x軸上變化時(shí)，求q受力平衡的位置，并討論平衡的穩(wěn)定性。

解 由①式知，平衡位置x0＝12cm，在這一位置上，正、負(fù)電荷各自產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小相等。

平衡穩(wěn)定性的討論：可令q從x0處發(fā)生一微小位移Δx。當(dāng)Δx＞0時(shí)，正電荷Q1產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)占主導(dǎo)，F(xiàn)＞0，即當(dāng)q離開(kāi)平衡位置向右偏離時(shí)，將受到斥力，方向向右；當(dāng)Δx＜0時(shí)，負(fù)電荷Q2產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)占主導(dǎo)，F(xiàn)＜0，即當(dāng)q離開(kāi)平衡位置向左偏離時(shí)，將受到引力，方向向左。由此可見(jiàn)平衡是不穩(wěn)定的。數(shù)學(xué)解析討論：

F=kQ2q〔4(x0+Δx)2-1(x0-6+Δx)2］

=kQ2q3Δx(8+Δx)(12+Δx)2(6+Δx)2。②

由于②式中的分母恒為正值，可見(jiàn)q受到的合力F的正負(fù)只決定于分子。這樣容易得到與上述相同的結(jié)論。

（4）*試定性地畫出試探電荷+q所受合力F與q在x軸上位置x（x＞6）的關(guān)系曲線。

解 由（3）*解知，在x0＝12cm處，合場(chǎng)強(qiáng)E=0。在x＞12cm，總有F＞0。當(dāng)x→∞，F(xiàn)→0。由此可知，在x0的右方，F(xiàn)＞0，最后變?yōu)橼呌诹?，可?jiàn)有一個(gè)正的極大值存在。在6cm＜x＜12cm的區(qū)間里，F(xiàn)＜0，左側(cè)單調(diào)地趨于－∞。這樣可定性地畫出F-x曲線如圖2所示。

(5)*試定性畫出兩點(diǎn)電荷產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)在x軸上的分布，即E(x)曲線。作圖時(shí)應(yīng)考慮正負(fù)x值兩種情況。如果E指向右方，則E為正；如果E指向左方，則E為負(fù)。

解 對(duì)于x＜0，場(chǎng)強(qiáng)反向疊加，與電荷Q1靠得近，其方向取決于Q1，其值近處主要由Q1決定，遠(yuǎn)處兩電荷合一，由Q1＋Q2決定，畫出E(x)曲線AB如圖3所示。

對(duì)于0＜x＜6cm，場(chǎng)強(qiáng)是同向疊加，始終為正。注意到x=0或6cm及近旁時(shí)場(chǎng)強(qiáng)E的情形，場(chǎng)強(qiáng)E必有極小值且更靠近x=6cm，這樣可畫出E(x)曲線CD如圖3所示。

對(duì)于x＞6cm，在x＝6cm近旁，場(chǎng)強(qiáng)主要由Q2決定，遠(yuǎn)處由Q1＋Q2決定；稍遠(yuǎn)處Q1、Q2形成的電場(chǎng)衰減程度不同，情況較復(fù)雜些，可根據(jù)x＝x0和x=∞場(chǎng)強(qiáng)的極限情形，畫出曲線GF如圖3所示。

(6)*對(duì)以上E(x)曲線的數(shù)學(xué)分析。

解 令Q1=4q， Q2=-q，d＝6cm，由真空中的點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)公式分段寫出函數(shù)表達(dá)式：

當(dāng)x＜0，kq［-4/x2+1/(d-x)2］。

當(dāng)0＜x＜d，E(x)=kq［4/x2+1/(d-x)2］。③

當(dāng)x＞d，kq［4/x2-1/(x-d)2］。

顯然第一段函數(shù)（x＜0），E(x)是單調(diào)減函數(shù)，如圖3曲線AB所示。

第二段函數(shù)（0＜x＜d），E(x)是非單調(diào)函數(shù)。對(duì)E(x)求導(dǎo)，

E′（x)=kq［-8/x3+2/(d-x)3］，令E′(x)＝0，得

x1=34d/(1+34)=3.68cm。④

經(jīng)數(shù)學(xué)考察x1為E(x)極小值點(diǎn)。④式表明x1＞d/2，如圖3曲線CD所示。

第三段函數(shù)（x＞d），先確定幾個(gè)特殊點(diǎn)：

(a)E(x)=0的點(diǎn)，x0=2d=12cm。⑤

(b)E(x)的極值點(diǎn)。

令E″(x)=6kq［4/x4-1/(x-d)4］=0，得

x′1=34d/(34-1)=16.2cm。⑥

(c)E(x)的拐點(diǎn)。

令E″(x)=6kq［4/x4-1/(x-d)4］=0，得

x2=44d/(44-1=20.5cm。⑦

根據(jù)⑤、⑥、⑦式，顯然x0 ＜x′1＜x2。最后分區(qū)域描出曲線GF，如圖3所示。

(7)*試在（4）*中把正的試探電荷換成負(fù)的，則試探電荷-q所受合力F與q在x軸上位置x（x＞6）的關(guān)系曲線如何？請(qǐng)描繪之。從受力圖的形狀上聯(lián)想到了什么力，請(qǐng)作出解釋。

解 負(fù)試探電荷q受到Q1、Q2的合力與q在x軸上位置x的關(guān)系曲線如圖4所示。從形狀上可聯(lián)想到它跟分子間作用力與分子距離的關(guān)系曲線相似。把Q1和Q2合并看作甲分子，負(fù)試探電荷q看作乙分子，當(dāng)甲、乙分子靠近時(shí)：q在x＝6cm附近，Q2的斥力占主導(dǎo)；當(dāng)甲、乙分子稍遠(yuǎn)時(shí)：q在x＝12cm，Q1、Q2的引力斥力相當(dāng)；當(dāng)甲、乙分子遠(yuǎn)離時(shí)：Q1的引力占主導(dǎo)。這樣能粗略地解釋分子間同時(shí)存在斥力和引力，而表現(xiàn)出的斥力和引力是合力。

3 關(guān)于本習(xí)題教學(xué)案例的幾點(diǎn)思考

①首先要有好的題目。原題（1）的求解沒(méi)有直接套用點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)公式和場(chǎng)強(qiáng)疊加方法，而是先進(jìn)行判斷性的分析，對(duì)x軸上場(chǎng)強(qiáng)的分布情況分區(qū)域作出判斷，這就是所謂的定性分析。原題（2）正是按定性分析法設(shè)置和求解的。

②對(duì)（3）*~(7)*題目的設(shè)置和求解，圍繞場(chǎng)強(qiáng)、場(chǎng)強(qiáng)疊加、點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)等知識(shí)點(diǎn)，但側(cè)重點(diǎn)是對(duì)物理學(xué)研究中常用的思想方法的培養(yǎng)和訓(xùn)練。當(dāng)然這些題目也可由學(xué)生來(lái)編擬，如兩個(gè)同種電荷在其連線上的電場(chǎng)分布，等量異種（同種）電荷中垂線上電場(chǎng)的分布等。編出一道有價(jià)值的好題獲得的教益遠(yuǎn)勝于解出一道難題。

③在物理學(xué)研究中，有一種特有的分析方法——元過(guò)程分析法，也叫做“微元法”。它是把物理過(guò)程分解成為無(wú)限多個(gè)無(wú)限小的部分抽取其中一部分加以研究的方法。（3）*的解法就采用了這種方法，可以是定性的，也可以是定量的。在（4）*~（5）*的定性分析中，是對(duì)把握主要因素，抓住特殊點(diǎn)及特殊點(diǎn)的極限情形，注意到物理量的漸變性等，使思考進(jìn)入程序，形成思路的訓(xùn)練?？茖W(xué)方法和正確思路的建立，要經(jīng)歷一定的過(guò)程才能實(shí)現(xiàn)。這一點(diǎn)是至關(guān)重要的，它必須貫串于習(xí)題教學(xué)始終。

④(6)*對(duì)E（x）的數(shù)學(xué)分析，學(xué)生是可以接受的。問(wèn)題是如何引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用微積分這一數(shù)學(xué)工具。定性是定量的不足，從定性到定量，這是物理發(fā)展的必然。從歷史上看，哈雷彗星回歸、海王星的發(fā)現(xiàn)就是很好的例證。（7）*的價(jià)值在于它是類比思維方法的體現(xiàn)。

(欄目編輯黃懋恩)