康國明等

我們來做一個(gè)新鮮的游戲，請你隨便選一個(gè)四位數(shù).當(dāng)然1 000就是一個(gè)四位數(shù)，但這個(gè)數(shù)太簡單了，我們挑一個(gè)復(fù)雜的，做起來更有趣.

比如說，我們選1234吧！下一步怎么做呢？請把這個(gè)數(shù)的每一位數(shù)字都平方，然后相加. 12+22+32+42=1+4+9+16=30，這樣一來，原來的數(shù)就變成了30.再將30的每一位數(shù)字都平方，然后相加，即32+02=9.然后再將9這個(gè)數(shù)平方，得81……不斷重復(fù)，按照這種規(guī)則做下去，會(huì)得到什么數(shù)呢？規(guī)則就這么簡單，大家不妨在紙上演算一番，1234→30→9→81→65→61→37→……

算到這里，有的同學(xué)也許會(huì)不耐煩，說：“這是個(gè)無底洞，算到明天也算不完！”可是，只要大家耐心地算下去，要不了多久，大家就會(huì)發(fā)現(xiàn)奇跡的（如圖1）.

你看，這些數(shù)字就像大鬧天宮的孫悟空一樣，跌進(jìn)如來佛的手心，不斷地轉(zhuǎn)圈子，卻怎么也出不來了.有的同學(xué)會(huì)說：“這也許是很偶然的現(xiàn)象吧.”那么，就請大家再選一個(gè)數(shù)字，就請大家選1980試一試吧，計(jì)算的過程中仍然出現(xiàn)了轉(zhuǎn)圈子的現(xiàn)象（如圖2）.

轉(zhuǎn)圈子的現(xiàn)象稱為“循環(huán)” ，在控制論的理論與實(shí)踐中都有一定意義.但是，也請大家注意，有些四位數(shù)按照上述法則進(jìn)行變換則是以1為歸宿的.例如2008變化的情況如下：2008→68→100→1→1→……

這實(shí)際上也是在轉(zhuǎn)圈子.也就是說，變到1以后，按照運(yùn)算法則進(jìn)行下去，以后就一直是1.這個(gè)1就稱為“溝”，也有人叫“匯” ，有“百川歸海”的意思.

自然數(shù)里充滿了許多奇妙的現(xiàn)象，我們今后將會(huì)學(xué)到更多東西.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文”。