劉東升

數(shù)學(xué)思想和方法是數(shù)學(xué)的血液和精髓.它是解決數(shù)學(xué)問題的有力武器，是進行數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的工具，又是處理數(shù)學(xué)問題的指導(dǎo)思想和基本策略，是數(shù)學(xué)的靈魂．

本學(xué)期每章都滲透了相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想，下面我們精選一些典型問題跟同學(xué)們就本學(xué)期常見的數(shù)學(xué)思想歸類例析，希望對同學(xué)們期末復(fù)習(xí)有所幫助．

一、感受數(shù)形結(jié)合思想

例1（2008年·湘潭市）如圖1，將一副七巧板拼成一只小貓，則圖1中∠AOB=.

【思路探究與簡解】由于所給的七巧板中三角形均為等腰直角三角形，故拼成的小貓中∠AOB=45°+45°=90°．

二、理解轉(zhuǎn)化思想

例2如圖2，一只螞蟻要從正方體的一個頂點A處沿表面爬行到頂點B處，怎樣爬行路線最短？如果要爬行到頂點C處呢？說出你的理由．

【思路探究與簡解】這只螞蟻要從正方體的一個頂點A處沿表面爬行到頂點B處，沿線段AB爬行的路線最短；如果要爬行到頂點C處，將正方體表面展開，易知沿圖3所示的折線ADC爬行的路線最短．這兩個結(jié)論都是利用“兩點之間，線段最短”的性質(zhì)得出的．

三、體會整體思想

A．18 B．12 C．9 D．7

【思路探究與簡解】分析所給的條件，得到一個等式3x2-4x+6=9，表面上看這個代數(shù)式的值為9對我們解題毫無幫助，因為根據(jù)我們目前掌握的知識無法求出x的值，進而不能代入求x2-x+6的值了！難道本題沒法做了嗎？應(yīng)該不會.再仔細觀察已知代數(shù)式與待求的代數(shù)式，我們會發(fā)現(xiàn)它們是有關(guān)系的.原來已知代數(shù)式中有3x2-4x，而待求的代數(shù)式中有x23x2-4x），經(jīng)過這樣的變形后，我們只要根據(jù)已知條件求出3x2-4x這個整體的值為3，代入變形后的代數(shù)式（3x2-4x）+6，即可求出答案為7，故選D．

四、關(guān)注由特殊到一般的歸納思想

例4（2008年·哈爾濱市）觀察圖4中的圖形，它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第20個圖形共有____個★．

【思路探究與簡解】本題可以從三個方面觀察和思考，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律．

方法一：從圖形的變化角度可以發(fā)現(xiàn)，第1個圖形中共有3個★，第2個圖形比第1個圖形多3個★，第3個圖形比第2個圖形多3個★，依此類推，第20個圖形比第1個圖形多3×（20-1）=57（個）★，所以第20個圖形中有57+3=60（個）★.

方法二：從圖形中蘊涵的數(shù)字變化規(guī)律可以發(fā)現(xiàn)，第1個圖形中的★有3×1=3（個），第2個圖形中的★有3×2=6（個），第3個圖形中的★有3×3=9（個），依此類推可得第20個圖形中的★有3×20=60（個）.

方法三：從圖形整體的變化角度可以發(fā)現(xiàn)，每個圖形實際上是一個三角形，每條邊上的★的個數(shù)相等，且均比序號多1，所以第20個圖形中共有（20+1）×3-3=60（個）★．

五、點撥分類討論思想

例5（2007年·長沙市）經(jīng)過任意三點中的兩點共可以畫出的直線是（ ）.

A．一條或三條 B．三條

C．兩條 D．一條

【思路探究與簡解】解答這道題要分兩種情況考慮：一是這三點都在同一條直線上時，就只能畫出一條直線；二是這三點不在同一直線上時，此時共可以畫出三條直線．故選A．