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        四法五圖解三角形相似問題

        2008-12-23 08:33:48郭杏好
        關(guān)鍵詞:傳遞性分法木條

        郭杏好

        對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例的三角形是相似三角形.相似三角形的本質(zhì)特征是“形狀相同”但大小不一定相等.相似三角形對應(yīng)邊的比,叫做相似比(或相似系數(shù)).若△ABC與△A′B′C′的相似比是k1,△A′B′C′與△ABC的相似比為k2,則k1= .相似三角形有一個重要的性質(zhì)——傳遞性:如果△ABC∽△A1B1C1,△A1B1C1∽△A2B2C2,那么△ABC∽△A2B2C2.

        判定兩個三角形相似常用的“四法”是:

        (1) 平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.(相似三角形判定的預(yù)備定理)

        (2) 兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似.

        (3) 三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似.

        (4) 兩邊對應(yīng)成比例,且夾角相等的兩個三角形相似.

        “五圖”是指5個常見的三角形相似的基本圖形.

        在圖1中,△ADE∽△ABC;在圖2中,△ABO∽△A′B′O;在圖3中,△ABC∽△AED;在圖4中,△ABC∽△ADB;在圖5中,△ABC∽△ACD∽△CBD.

        例1 小明要做兩個形狀相同的三角形框架,其中一個框架三邊為30 cm,40 cm,50 cm,而另一個三角形框架現(xiàn)在只有一條60 cm的木條,小明應(yīng)該再找兩根多長的木條呢?

        解:設(shè)另兩根木條分別長x cm,y cm,x≤y.

        若60 cm和30 cm木條為對應(yīng)邊,則 = = .

        解得x=80(cm),y=100(cm).

        若60 cm和40 cm木條為對應(yīng)邊,則 = = .

        解得x=45(cm),y=75(cm).

        若60 cm和50 cm木條為對應(yīng)邊,則 = = .

        解得x=36(cm),y=48(cm).

        注:解此題的關(guān)鍵是弄清60 cm的木條和已知框架三邊中的哪條邊是對應(yīng)邊.有三種可能性,因此需分類討論.這道題重在體現(xiàn)分類討論的數(shù)學(xué)思想.

        例2 如圖6,△ABC中,D,E分別是AB,BC邊上的點,連接DE并延長,交AC的延長線于F,若BD∶DE=AB∶AC.求證:△CEF是等腰三角形.

        分析: 由已知AB∶AC=BD∶DE,結(jié)合圖形容易看出,若過點D作DG∥AF,交BC于G,可構(gòu)造多組三角形相似的基本圖形,則AB∶AC=BD∶DG,所以DG=DE,從而可證CF=EF.

        證明:過點D作DG∥AF,交BC于G.顯然△ABC∽△DBG.

        所以 = ,

        由 = ,可知DE=DG.

        由DG∥CF,可得△CFE∽△GDE.

        所以 = .

        因此CF=EF.即△CEF是等腰三角形.

        例3 圖7是一個直角三角形,∠B=90°.請設(shè)計三種不同的方法,將這個直角三角形分成四個小三角形,使得每個小三角形與原直角三角形都相似.(兩種分法中,只要有一條分割線段位置不同,就認(rèn)為是兩種不同的分法)

        分析: 一是要利用相似三角形的基本圖形;二是要利用相似三角形的傳遞性.

        解:分法如圖8.圖8(1)中,D是AC邊的中點,DE⊥BC,DF⊥AB.圖8(2)中,BD⊥AC,DF∥AB,DE∥BC.圖8(3)中,BD⊥AC,DE⊥BC,EF⊥AC.

        責(zé)任編輯/趙良河

        注:“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文”。

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