李建潮　沈水榮

文［1］在直角坐標(biāo)系下分別證明了離心率相等的橢圓、雙曲線是相似圖形及任意兩條拋物線是相似圖形(也為文［2］).出于圓錐曲線統(tǒng)一定義(平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F的距離和到一條定

直線l的距離的比等于正常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線)的考慮，本文擬通過極坐標(biāo)系下圓

錐曲線統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程統(tǒng)一處理“離心率相等的圓錐曲線都相似”，并建立與之相關(guān)的一

個(gè)新性質(zhì).

不失一般性，不妨設(shè)離心率都等于e的兩個(gè)圓錐曲線C1、C2的極坐標(biāo)方程分別為

ρ=ep11-ecosθ (1)，ρ=ep21-ecosθ (2)

其中pi(i=1,2)分別為焦點(diǎn)F(即極點(diǎn))到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離.

由方程(1)、(2)易見，過焦點(diǎn)F與曲線C1相交的任意射線FK與曲線C2必相交.于是可設(shè)射線FK與曲線C1、C2分別相交于點(diǎn)A(ρA、θ)、B(ρB、θ)，即ρA=ep11-ecosθ,ρB=ep21-ecosθ,且|FA|=|ρA|,|FB|=|ρB|，于是|FA||FB|=|ρA||ρB|=p1p2.

由文［3］關(guān)于兩個(gè)圖形位似的定義，立知圓錐曲線C1與C2位似，且焦點(diǎn)F是它們的位似中心.據(jù)此，我們獲得：

定理1 離心率相等的圓錐曲線是相似圖形.

由以上定理一的極坐標(biāo)證明我們已經(jīng)意識(shí)到：有關(guān)圓錐曲線統(tǒng)一性質(zhì)的獲取和證明極坐標(biāo)法較直角坐標(biāo)法要明快得多.在對(duì)圓錐曲線的公共屬性的認(rèn)識(shí)上極坐標(biāo)法較直角坐標(biāo)法要深刻得多、思維形成上要自然得多.從美學(xué)角度講，極坐標(biāo)法更能顯耀出圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程的形式美與和諧美.以下性質(zhì)的確立就是一面鏡子.

定理2 設(shè)圓錐曲線C1、C2的極坐標(biāo)方程分別為ρ=ep11-ecosθ、ρ=ep21-ecosθ(其中e>0,p1>0,p2>0,且p1≠p2).過公共焦點(diǎn)F(即極點(diǎn))的動(dòng)射線FK分別交曲線C1、C2于點(diǎn)A、B，點(diǎn)M在直線AB上，滿足AM