孫四周

習(xí)題講解在什么時(shí)候講?講到什么程度?又如何去講?講過(guò)以后又如何安排好學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓他們及時(shí)鞏固習(xí)題講解的效果呢?等等.這些細(xì)節(jié)都將直接影響到解題教學(xué)的成敗，所以值得我們密切關(guān)注.在實(shí)際教學(xué)中，筆者總結(jié)出解題的“四宜四不宜”，羅列如下，供同行 們參考.

1.思路點(diǎn)撥：宜拖后不宜提前

解題，首先遇到的就是思維起點(diǎn)的選取和解題途徑的設(shè)計(jì)，這是解題最重要也是最困難的地方，同時(shí)也是最能考驗(yàn)學(xué)生能力的地方.解題遇阻主要的就是受阻于此.相應(yīng)地，講解也多由此處切入，因?yàn)樗悸返狞c(diǎn)撥是效率最高的講解形式.那么，在何時(shí)、以何種形式進(jìn)行思路點(diǎn)撥呢?我們認(rèn)為：思路點(diǎn)撥宜拖后不宜提前.

例1 求函數(shù)y=玸in(x+π3)玸in玿的最大和最小值.

分析：在目前的課程標(biāo)準(zhǔn)下研究三角函數(shù)的性質(zhì)，思路只有一個(gè)，那就是化成只含有一個(gè)三角函數(shù)的最基本形式，即化為y=A玸in(ωx+φ)+b的形式.為此，可作如下的變形：y=玸in(x+π3)玸in玿=(12玸in玿+32玞os玿)玸in玿后，再使用二倍角公式和降冪公式，即可化為y=12玸in(2x-π6)+14，最大值和最小值都是顯而易見(jiàn)的.

問(wèn)題是，老師應(yīng)當(dāng)在何時(shí)用何種方式對(duì)學(xué)生進(jìn)行思路提示呢?我們認(rèn)為，正確的做法是：先讓學(xué)生有足夠的時(shí)間自主思考，如果能思考出來(lái)當(dāng)然很好.否則，也應(yīng)當(dāng)讓他們有切身的經(jīng)歷，而在他們欲進(jìn)不能、欲罷不忍的“苦悶”時(shí)刻給予恰當(dāng)?shù)脑顾麄冊(cè)诨砣婚_(kāi)朗之余感受“醍醐貫頂”的震撼.孔子云“不憤不啟，不悱不發(fā)”，蓋此之謂也.即思路點(diǎn)撥，宜拖后不宜提前.

雖然，相對(duì)于其它的課型，習(xí)題課(或習(xí)題講解的時(shí)段)比較容易突出學(xué)生的主體地位，學(xué)生的思維也較為活躍，但這時(shí)老師更要注意引導(dǎo)的時(shí)機(jī)和技巧.有的老師對(duì)學(xué)生不放心，喜歡在題目剛出來(lái)時(shí)就先進(jìn)行提示或分析，那樣做，看起來(lái)課堂的效率高了，講的題目多了，但實(shí)際上是扼殺了學(xué)生的自主思維能力，剝奪了學(xué)生自由創(chuàng)造空間.在學(xué)生還沒(méi)有來(lái)得及思考的時(shí)候，老師硬是用固定的思路框定他們的頭腦，使他們服從于已有的模式，這對(duì)他們思維能力的形成是個(gè)不小的打擊.毫地疑問(wèn)地，老師所提示的思路可能是最佳的，老師所提供的思考模式也可能是非常有價(jià)值的.但是，這多少帶有強(qiáng)加的意味.雖然好像是節(jié)省了時(shí)間，但實(shí)際是把本該屬于學(xué)生主動(dòng)思考的時(shí)間變成了老師灌輸?shù)臅r(shí)間，把本該由學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)的過(guò)程變成了被動(dòng)接受的過(guò)程.如果采用當(dāng)堂檢測(cè)的方法進(jìn)行目標(biāo)達(dá)成測(cè)試，也完全可能得到較好的卷面成績(jī)(特別是中下等成績(jī)的同學(xué)合格率還可能很高)，但筆者仍然認(rèn)為這種做法是應(yīng)該堅(jiān)決予以拋棄的.

2.類比聯(lián)想：宜引導(dǎo)不宜包辦

偉大的數(shù)學(xué)教育家波利亞在他著名的“怎樣解題表”中給出這樣的思維提示：你見(jiàn)過(guò)類似的題目嗎?回想你曾解過(guò)的、類似的而又較為簡(jiǎn)單的問(wèn)題.

這就是讓學(xué)生在解題時(shí)要善于聯(lián)想，聯(lián)想的目的大致有二：其一，尋找可以適用的解題模式，在此模式下按部就班地進(jìn)行操作；其二，借用以前的解題經(jīng)驗(yàn)，為新題的解決提供借鑒.不論哪個(gè)目的能夠達(dá)到，則解題即可順利進(jìn)行.遺憾的是，學(xué)生很容易正是在聯(lián)想時(shí)受阻，這時(shí)候，老師該采取什么措施呢?筆者的意見(jiàn)是：我們絕不可以把可用的模式一股腦兒地告訴給學(xué)生，也不可以把一個(gè)幾乎相同的問(wèn)題端出來(lái)給學(xué)生看.因?yàn)槔蠋熯@樣包辦代替以后，學(xué)生所需要做的工作就太有限了.

例2 已知a,b∈R+，且ab+a+b=24，求a+b的取值范圍.

甲老師的講解是這樣的：

師：a+b中a和b都在變化.那么，對(duì)于二元變量的最值問(wèn)題，你能處理嗎?(停頓)

學(xué)生甲：二元變量不好處理，所以應(yīng)該消元，變成一元變量問(wèn)題.

師：能說(shuō)具體一點(diǎn)嗎?

學(xué)生甲：就是把條件中的b解出來(lái)，得b=24-aa+1，再代入a+b中，就變成關(guān)于a的一個(gè)函數(shù)a+b=a+24-aa+1=(a+1)+25a+1-2，聯(lián)想到可以用不等式法求它的值域，此問(wèn)題已經(jīng)可以解決了.

老師順手就在黑板上寫(xiě)下了學(xué)生們不斷“冒”出來(lái)的想法.(后來(lái)標(biāo)為“解法一”).

師(面向全體)：大家做的很好，它所體現(xiàn)的是什么數(shù)學(xué)思想?

學(xué)生齊答：化歸思想!

師：對(duì)，這就是化歸思想的應(yīng)用.還有其它的想法嗎?

學(xué)生乙：可以不消元，就保留兩個(gè)變量，用二元均值不等式來(lái)做，即：∵a,b∈R+，∴ab≤(a+b2)2，代入ab+a+b=24，得(a+b2)2+(a+b)≥24，令t=a+b,得t2+4t≥96，從而t≤-12或t≥8，又顯然0

老師又寫(xiě)出了新的解法，(后來(lái)標(biāo)為“解法二”).

應(yīng)當(dāng)說(shuō)學(xué)生的回答相當(dāng)精彩，老師的點(diǎn)撥確是順勢(shì)而為，恰到好處.相應(yīng)地，另一位老師作了如下的處理：

(寫(xiě)完題目后，讓學(xué)生思考了一下，沒(méi)什么反應(yīng)，于是——)

師：這是兩個(gè)變量的問(wèn)題，我們所熟悉的是函數(shù)類型的問(wèn)題，而函數(shù)類型只能一個(gè)自變量，現(xiàn)在有兩個(gè)變量，怎么辦呢?

學(xué)生(齊答)：消去一個(gè)!

師：對(duì)，消去一個(gè)后，就變成一個(gè)變量了，一個(gè)變量就是函數(shù)類型，我們當(dāng)然能夠處理，我們一起試試看.

然后，老師和學(xué)生一起，共同完成了問(wèn)題的解答，課堂氣氛也很熱烈，學(xué)生思維也很活躍.

師：上面，我們把二元問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元問(wèn)題，利用函數(shù)的方法解決了本來(lái)比較難的問(wèn)題，是不是一定要這樣做呢?就保留二個(gè)變量可不可以呢?你說(shuō)說(shuō)看，可以還是不可以(提問(wèn)學(xué)生丙).

學(xué)生丙：我看應(yīng)當(dāng)可以.

師：怎樣可以?

學(xué)生丙：好像——，好像要把a(bǔ)b換成a+b.

師：太好了，確實(shí)應(yīng)該把a(bǔ)b化成a+b.怎么化呢?(見(jiàn)學(xué)生丙沒(méi)有反應(yīng)，示意其坐下，自己就接著講).我們學(xué)過(guò)二元均值不等式，讓我們來(lái)回想一下——

下面又是一起回想，一起“探討”，解題在老師的設(shè)問(wèn)和學(xué)生的回答中進(jìn)行著——

與前一位老師相比，這位老師也是想通過(guò)啟發(fā)誘導(dǎo)讓學(xué)生積極思考，從而達(dá)到自主解題的目的.從表面上看，課堂氣氛也確實(shí)不錯(cuò).但是，老師的指點(diǎn)太全面而且超前，學(xué)生的思維深度遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠.可以說(shuō)，盡管這個(gè)題目順利解決了，這樣的解題指導(dǎo)卻是失敗的.

3.解答書(shū)寫(xiě)：宜規(guī)范不宜隨意

許多老師習(xí)慣于“只提思路，不寫(xiě)解法”，因?yàn)檫@樣可以節(jié)省時(shí)間.應(yīng)當(dāng)說(shuō)這是允許的，但是必須有一個(gè)前提，那就是學(xué)生對(duì)這個(gè)(類)問(wèn)題的解答已經(jīng)能夠熟練而完備地書(shū)寫(xiě)出來(lái).如果是講授新課，還是應(yīng)該把解答完整地寫(xiě)出來(lái)，而且要寫(xiě)得規(guī)范.我就曾見(jiàn)識(shí)過(guò)一位特級(jí)教師，他在講函數(shù)單調(diào)性的那節(jié)新課上，寫(xiě)出了用定義證明函數(shù)y=3x+1在R上為增函數(shù)的完整證明.那已經(jīng)是十幾年前的事了，提起這件事，當(dāng)時(shí)參與聽(tīng)課的老師仍然印象清晰、態(tài)度肅然.

對(duì)例題的解答給出規(guī)范而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臅?shū)寫(xiě)，最起碼有下面的幾點(diǎn)好處：

一是在書(shū)寫(xiě)時(shí)給學(xué)生切身的示范，作為他們解題時(shí)的樣本，并培養(yǎng)他們一絲不茍的學(xué)風(fēng)；

二是通過(guò)書(shū)寫(xiě)，以較慢的速度重現(xiàn)思維的全過(guò)程，加強(qiáng)思維嚴(yán)謹(jǐn)性的要求；

三是在學(xué)生聽(tīng)的同時(shí)還要看和抄，調(diào)動(dòng)他們的耳、目、腦、手等多種感官，提高感知和記憶的效率；

四是學(xué)生的規(guī)范化解答是形成解題模式的前提，而解題模式的形成對(duì)解題能力的提高是至關(guān)重要的.

當(dāng)然并不是說(shuō)每次的例題都要按規(guī)范化的要求書(shū)寫(xiě)，比如在復(fù)習(xí)課上就不可能也不必要這樣做.但是，即使這樣，書(shū)寫(xiě)也要避免隨意性.比如復(fù)習(xí)課或者試卷講評(píng)的例題，可能只寫(xiě)其中的關(guān)鍵步驟.對(duì)于這個(gè)關(guān)鍵步驟，就應(yīng)該很規(guī)范地寫(xiě)出來(lái)，并盡可能使它完整.因?yàn)?，既然你認(rèn)為這個(gè)步驟需要板書(shū)，就正說(shuō)明學(xué)生在這個(gè)步驟上存在缺陷，那么對(duì)這個(gè)步驟的板書(shū)做規(guī)范化的呈現(xiàn)也就是必要的了.

綜上所述，書(shū)寫(xiě)全部解答，就應(yīng)該保證全部的規(guī)范化；書(shū)寫(xiě)局部解答，就應(yīng)該保證局部的規(guī)范化.要盡量避免簡(jiǎn)單隨意的書(shū)寫(xiě)，就是版面布置也要追求整齊美觀、突出重點(diǎn)，這應(yīng)當(dāng)是一個(gè)數(shù)學(xué)教師的基本功夫.

4.解后反思：宜強(qiáng)調(diào)通法不宜渲染技巧

解題后的反思是解題教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，對(duì)教師而言是點(diǎn)睛之筆，對(duì)學(xué)生而言是從感性到理性的必由之路.所以從教與學(xué)雙方來(lái)說(shuō)，解后反思的環(huán)節(jié)都是需要特別給予關(guān)注的.

那么，反思應(yīng)該反思什么呢?什么樣的反思才算是較為成功的反思呢?

就筆者的思考來(lái)說(shuō)，反思大致可分為下面三個(gè)不同的層次：

第一，從同水平上說(shuō)， 應(yīng)總結(jié)解題成功的經(jīng)驗(yàn)和失敗的教訓(xùn)，形成較強(qiáng)的解題技能；

第二，從高一層次來(lái)說(shuō)，應(yīng)注重總結(jié)一般性的方法，形成解決同類問(wèn)題的遷移能力；

第三，從更高層面來(lái)說(shuō)，應(yīng)上升到方法論的高度，并對(duì)以后的解題行為形成有指導(dǎo)價(jià)值的理論.

這當(dāng)然是比較粗淺的分析，一個(gè)教師或?qū)W生解后反思水平的高低，依賴于他元認(rèn)知水平的高低，依賴于解題經(jīng)驗(yàn)的多寡和概括抽象能力的強(qiáng)弱.是學(xué)生學(xué)習(xí)能力強(qiáng)弱的直接體現(xiàn)，還將決定他們學(xué)業(yè)水平提高幅度的大小.

所以，解后反思應(yīng)著眼于一般性方法的總結(jié)與歸納，要跳出就題論題的小圈子，站得高一點(diǎn)，看得遠(yuǎn)一點(diǎn).特別不能糾纏于某種特別的技巧，即使這個(gè)技巧精妙絕倫，也只是一個(gè)技巧而已，在此時(shí)此地它很有效，換個(gè)環(huán)境就可能無(wú)法施展.所以，越是精巧而又特效的解法，越不應(yīng)當(dāng)反復(fù)強(qiáng)調(diào).不論它多么的令人難舍，過(guò)分地強(qiáng)調(diào)它就難脫就題論題之詬.

當(dāng)然，反思不但包括總結(jié)與概括，更重要的是通過(guò)反思，來(lái)提升學(xué)生認(rèn)識(shí)的檔次、加深學(xué)生對(duì)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)和理解，最終使分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力得到提高.所以，對(duì)于一些重點(diǎn)或難點(diǎn)問(wèn)題的反思，不能停留在理論上的總結(jié)，最好能及時(shí)地用相關(guān)問(wèn)題給以強(qiáng)化和鞏固.常見(jiàn)的方法就是根據(jù)對(duì)方法的總結(jié)，布置幾道相應(yīng)的練習(xí)題，可以是原例題的仿照練習(xí)，也可以是變式聯(lián)系，由問(wèn)題的難度來(lái)決定.比如上面的那個(gè)例1，留足學(xué)生的反思時(shí)間以后，老師的反思與總結(jié)包含了下面的內(nèi)容：

一是給出解這種題目的一般思路，即“化成只含有一個(gè)三角函數(shù)的最基本形式，求最大最小值是這樣，求周期、求增區(qū)間和減區(qū)間也是這樣”.

二是給出了幾個(gè)同式或變式的練習(xí).比如

(1)求y=玸in(x-π3)+玸in玿的最大最小值.

(2)求y=玸in4x-玞os4x的周期和值域.

(3)求y=玞os(2x-π3)玞os2x的周期和單調(diào)區(qū)間.

(4)若函數(shù)y=3玸inωx+3玞osωx(ω>0) 的周期是3π，則ω=，該函數(shù)的值域是，增區(qū)間是.

有了這樣的總結(jié)和追加的這幾個(gè)練習(xí)，例1的教學(xué)價(jià)值得到了開(kāi)發(fā)和落實(shí)，學(xué)生所學(xué)到的決不僅僅是這一個(gè)例題，而是這一類問(wèn)題的普遍解法.甚至不止于此!他們學(xué)到了數(shù)學(xué)的思想，學(xué)會(huì)了怎樣學(xué)習(xí)——學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)才是“終身學(xué)習(xí)”所必須的.所以，這樣的反思與總結(jié)，有高度、有落實(shí)，可以認(rèn)為是成功的.

總之，習(xí)題講解是靈活性很大、發(fā)揮余地很充足的教學(xué)活動(dòng)，老師應(yīng)當(dāng)眼中有學(xué)生，而不能是眼中只有題目.應(yīng)當(dāng)以學(xué)生的現(xiàn)實(shí)為出發(fā)點(diǎn)，以學(xué)生的發(fā)展為目的，通過(guò)數(shù)學(xué)思想的揭示、數(shù)學(xué)方法的鞏固、數(shù)學(xué)能力的提高，使學(xué)生學(xué)會(huì)分析、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí).