楊米珍

數(shù)學(xué)來源于實際，數(shù)學(xué)反過來為解決實際問題服務(wù).加強數(shù)學(xué)知識與實際生活的聯(lián)系，既可增強學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，又可加強學(xué)生對數(shù)學(xué)的認識，更可提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力.線段公理“兩點之間線段最短”，在解決實際問題時應(yīng)用非常廣泛.現(xiàn)舉例分析.

一、直接利用“兩點之間，線段最短”，解決問題

例1 如圖1，從A村到B村路過一條小溪ｌ，從哪里過河走的路程最短?

分析：由A點到B點直接連接A、B時，線段最短.因此連接A、B與ｌ交于點C，這就是要找的點.

解：連接A、B交ｌ于點C.則點C即為所求．如圖2．

二、利用軸對稱的性質(zhì)和兩點之間線段最短解決問題

例2 如圖3，在公路ｌ的同側(cè)有兩個村莊M、N，在公路旁建一個加油站，請使加油站到兩村莊的距離和最短.

分析：根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，利用線段對稱軸上的點到線段兩端的距離相等，只要作出M（或N）關(guān)于ｌ為對稱軸的對稱點M′(或N′)，再根據(jù)兩點之間線段最短，連接M′、N(或N′、M)與ｌ交于一點C，點C就是要找的加油站位置.

解：（1）作MA⊥ｌ，垂足為A；（２）延長MA至M＇使M′A=MA；（３）連接M′、N交ｌ于點C.點C就是所求的加油站的位置.如圖4.

三、利用軸對稱性質(zhì)和平面圖形的性質(zhì)及兩點之間線段最短解決問題

例３ 如圖５，在直角三角形ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是BC邊的中點，E是AB上一動點，求EC+ED的最小值.

分析：如圖６，作點C關(guān)于AB為對稱軸的對稱點C′，連接C′、Ｄ交AB于E，點E就是要求的點.C′Ｄ長就是EC+ED的最小值.

解：由題意可知，△MCB ≌△MC＇B.

∵BC=BC′=2， ∴ ∠DBC′=90°.

∵D是BC中點， ∴ BD=1.

∴C′D= = .

故EC+ED的最小值為 .

例４ 如圖７，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=1，∠B=60°，直線MN為梯形ABCD的對稱軸，P為MN上一點，求PC+PD的最小值.

分析：如圖８，因為MN是梯形ABCD的對稱軸，所以D、A關(guān)于MN對稱，連接AC交MN于P，點P就是所求的點.

解：∵ABCD 是等腰梯形，∠B=60°，

∴∠BAD=120°.

∵AD=CD=1，

∴∠DCA=30°，∠ACB=30°，∠BAC=90°.

∴BC=2.

在Rt△ABC中，AC= = .

四、在幾何體的展開體中利用“兩點之間線段最短”解決問題

例５ 如圖９， 有一圓錐形糧堆，其主視圖是邊長為6 m的正三角形ABC，母線AC的中點P處有一老鼠正在偷吃糧食，小貓在B處沿圓錐表面去偷襲老鼠.求小貓經(jīng)過的最短路程.

分析：要求最短路程首先想到圓錐的側(cè)面展開圖中，B、P兩點的距離，然后考慮側(cè)面展開圖中的B、P兩點之間的連線最短.

解：設(shè)扇形的圓心角為n，則根據(jù)題意得6π= .解得n=180°.

圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為180°，半徑為6 m的半圓.如圖10.所以小貓經(jīng)過的最短路線是BP．

BP＝3 （ｍ）.

綜上可知，在涉及到求最短距離、最短路線時，首先要想到的是線段公理．若是平面圖形，一般是把兩點之間的線段最短與軸對稱的性質(zhì)結(jié)合起來考慮；若是立體圖形，應(yīng)考慮它的側(cè)面展開圖，然后利用線段公理和所學(xué)的知識解決問題.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文?！?/p>