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        利用提公因式法解題

        2008-08-27 08:15:50劉學(xué)杰
        關(guān)鍵詞:利用分析

        劉學(xué)杰

        提公因式法是分解因式的“專(zhuān)利”嗎?不是的!對(duì)其他許多數(shù)學(xué)題,若能根據(jù)題目的特點(diǎn),靈活運(yùn)用提公因式法,往往會(huì)收到意想不到的效果.現(xiàn)舉例說(shuō)明.

        [一][利用提公因式法簡(jiǎn)化計(jì)算]

        例1計(jì)算:0.124×255+36.5×1.24-12.4×2.75+0.124×655.

        分析:如果分別運(yùn)算,顯然有一定的難度.但四個(gè)乘積中都可以尋找到0.124的“倍數(shù)”,所以可以將0.124提出,或許可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.

        解:原式=0.124×(255+365-275+655)=0.124×1 000=124.

        說(shuō)明:通過(guò)對(duì)本題的求解可以看出,提取了公因數(shù),不但大大降低了運(yùn)算難度,而且快速準(zhǔn)確.

        [二][利用提公因式法比較大小]

        例2已知a=-,b=-,c=-,試用不等號(hào)將a、b、c連接起來(lái).

        分析:如果分別求出a、b、c,顯然不易完成.考慮到有關(guān)數(shù)據(jù)較大,可以采用作差法,或許通過(guò)提取公因數(shù)能夠簡(jiǎn)化運(yùn)算.

        解:a-b=-+=×

        -.

        因?yàn)?gt;1,<1,所以a-b>0,a>b.同理可得b-c>0,b>c.所以a>b>c.

        說(shuō)明:通過(guò)分析數(shù)字特點(diǎn),巧妙地作差,然后提取公因數(shù),大大降低了運(yùn)算的難度.

        [三][利用提公因式法求值]

        例3已知a=2 005x+2 006,b=2 005x+2 007,c=2 005x+2 008,試求代數(shù)式a2+b2+c2-ab-bc-ca的值.

        分析:若要先求出a、b、c的值,則肯定無(wú)法辦到.但是,要求的代數(shù)式通過(guò)分組后有公因式可提取,同時(shí)已知條件兩兩相減也可以得到a-b、b-c和c-a的值,從而可以較方便地求解.

        解:因?yàn)閍=2 005x+2 006,b=2 005x+2 007,c=2 005x+2 008,所以a-b=-1,b-c=-1,c-a=2.

        ∴a2+b2+c2-ab-bc-ca

        =(a2-ab)+(b2-bc)+(c2-ca)

        =a(a-b)+b(b-c)+c(c-a)

        =-a-b+2c

        =(c-a)-(b-c)

        =3.

        說(shuō)明:本題也可通過(guò)a2+b2+c2-ab-bc-ca=[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]求解.

        [四][利用提公因式法幫助說(shuō)理]

        例47204-5×7203+3×7202能被17整除嗎?說(shuō)說(shuō)你的理由.

        分析:能不能被17整除,關(guān)鍵是看是否含有因數(shù)17,因此可以采用分解因數(shù)的方法.原式中三項(xiàng)的公因數(shù)是7202,可將各項(xiàng)中的7202提出,以尋求解法.

        解:7204-5×7203+3×7202能被17整除,因?yàn)?204-5×7203+3×7202=72×7202-5×7×7202+3×7202=7202(72-5×7+3)=7202×17.

        說(shuō)明:看一個(gè)多項(xiàng)式形式表示的數(shù)能否被某個(gè)數(shù)整除,通常采用分解因數(shù)的方法.這類(lèi)題目一般技巧性強(qiáng),要多在審題上下些功夫.

        <\192.168.0.129本地磁盤(pán) (d)王玲霞數(shù)據(jù)八年級(jí)數(shù)學(xué)北師大08年1-2期版式+圖jjgg.TIF>[練習(xí)]

        1. 計(jì)算:2.854×4.362-4.362×1.8-0.054×4.362.

        2. 對(duì)于任意自然數(shù)n,2-2n能被15整除嗎?為什么?

        注:本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文

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