湯　慧

在中考或平時(shí)練習(xí)中，同學(xué)們經(jīng)常遇到已知不等式（組）的解集，求不等式中字母的值或取值范圍的題目．很多同學(xué)對(duì)此類題束手無(wú)策，原因主要是對(duì)不等式的解集理解不清．下面給同學(xué)們介紹三種行之有效的解法．

一、解集對(duì)照法

例1如果關(guān)于x的不等式（a－1）x＞a－1的解集是x＜1，那么a的取值范圍是（）.

A． a≤1B． a＞1C． a＜1D． a＜0

解析：觀察發(fā)現(xiàn)，解集不等號(hào)與原不等式的不等號(hào)方向不同，這意味著不等式兩邊同時(shí)除以了一個(gè)負(fù)數(shù)．由此可判斷a－1＜0，所以a＜1．選C．

例2 關(guān)于x的不等式組x＋2a＞4，

2x－b＜5的解集是0＜x＜2，那么a＋b的值等于．

分析：要求a、b的值，必須建立關(guān)于a、b的方程組．分析給出的不等式組及解集，可將a、b看成已知數(shù)，求出不等式組的解集后，與已知的解集進(jìn)行對(duì)照，從而建立關(guān)于a、b的方程組，即可求出a、b的值．

解：由第一個(gè)不等式得x＞4－2a，由第二個(gè)不等式得x＜．當(dāng)4－2a＜時(shí)，原不等式組的解集為4－2a＜x＜．而已知原不等式組的解集為0＜x＜2，所以必有4－2a＝0，

＝2．解得a＝2，

b＝－1．所以a＋b＝1．

二、數(shù)形結(jié)合法

例3已知關(guān)于x的不等式組30x－a≥0，

8x－a＜0的整數(shù)解僅為1、2、3，求整數(shù)a的值．

分析：先求出原不等式組的解集，再利用數(shù)軸就能直觀地得出a所滿足的不等式．解這個(gè)不等式即可確定a的取值范圍，進(jìn)而確定整數(shù)a的值．

解：解不等式組得≤x＜．在數(shù)軸上畫(huà)出這個(gè)不等式組的解集的可能區(qū)間，如圖1．觀察圖1不難發(fā)現(xiàn)，a的取值滿足不等式組0＜

≤1，

3＜

≤4．解得24＜a≤30．所以整數(shù)a的值為25、26、27、28、29、30．

例4已知關(guān)于x的不等式組x－3（x－2）≤4，

＞x無(wú)解，求a的取值范圍．

分析：不等式組的解集是不等式中各個(gè)不等式的解集的公共部分，而無(wú)解的含義就是各個(gè)不等式的解集無(wú)公共部分．先在數(shù)軸上畫(huà)出不等式組中每個(gè)不等式的解集，再結(jié)合數(shù)軸進(jìn)行討論．

解：將原不等式組化為x≥1，

x＜a ．因?yàn)椴坏仁浇M無(wú)解，所以兩解集x≥1與x＜a在數(shù)軸上表示時(shí)無(wú)公共部分（如圖2）．觀察數(shù)軸可知a＜1，當(dāng)a＝1時(shí)，兩解集也無(wú)公共部分．所以a≤1．

點(diǎn)評(píng)：數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中的重要思想．所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想．利用數(shù)軸來(lái)解決與不等式（組）有關(guān)的問(wèn)題，往往可起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的作用．

三、分類討論法

例5已知關(guān)于x的不等式組x－a≥0，

3－2x＞－1的整數(shù)解共有5個(gè)，求a的取值范圍．

分析：解原不等式組得a≤x＜2．因不等式組有5個(gè)整數(shù)解，由整數(shù)解的意義可知這些整數(shù)解應(yīng)為1、0、－1、－2、－3．先確定a的大致范圍，再通過(guò)分類討論即可求出a的取值范圍

解：根據(jù)以上分析可知，a的取值在－4與－3之間，因而a的取值有三種情況：

（1）當(dāng)a＝－3時(shí)，原不等式組的解集為－3≤x＜2，其整數(shù)解恰有5個(gè)，符合題意；

（2）當(dāng)a＝－4時(shí)，原不等式組的解集為－4≤x＜2，其整數(shù)解有6個(gè)，不符合題意；

（3）當(dāng)－4＜a＜－3時(shí)，原不等式組的整數(shù)解有5個(gè)，符合題意．

綜上可知，a的取值范圍為－4＜a≤－3．

點(diǎn)評(píng)：分類討論也是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法．所謂分類討論，就是當(dāng)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題用統(tǒng)一的方法不能繼續(xù)解下去的時(shí)候，將研究的問(wèn)題分成若干類情況進(jìn)行研究的思想方法．分類要以事物某種特征為標(biāo)準(zhǔn)，并且分類要做到不重不漏．要使被分類的對(duì)象中每一對(duì)象都能歸入某一類，不能無(wú)類可歸（不漏）；并且每一對(duì)象不能既可歸入甲類，又可歸入乙類，即只能歸入一類（不重）．

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文