明　師

數(shù)學(xué)的思想方法比數(shù)學(xué)知識(shí)更為重要，這是因?yàn)橹R(shí)的記憶是暫時(shí)的，思想與方法的掌握是永久的；知識(shí)只能使人受益于一時(shí)，思想與方法將使人受益于終生．著名數(shù)學(xué)教育家波利亞在上世紀(jì)60年代曾作過統(tǒng)計(jì)，普通中學(xué)的學(xué)生，畢業(yè)后在其工作中需要用到數(shù)學(xué)的約占全部學(xué)生的30％，而其余的70％則幾乎用不到任何具體的數(shù)學(xué)知識(shí)．正是基于這樣的分析，波利亞認(rèn)為：“一個(gè)教師，他在教解題時(shí)應(yīng)當(dāng)教三分之一的數(shù)學(xué)和三分之二的常識(shí)（即指一般性的思想方法或思維模式）．”這就是說，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必須重視數(shù)學(xué)思想方法．

在分解因式中，整體思想就是一種很值得重視的數(shù)學(xué)思想．例如，對(duì)二次三項(xiàng)式a2－7a－18分解因式后，如果將等式a2－7a－18＝（a－9）（a＋2）中的字母a進(jìn)行變量變換，即將a變?yōu)閤2，得x4－7x2－18＝（x2－9）（x2＋2）；將a變?yōu)閤2－3x，得（x2－3x）2－7（x2－3x）－18＝（x2－3x－9）（x2－3x＋2）．通過變元，把字母變成多項(xiàng)式，反過來，如果將某些多項(xiàng)式看做一個(gè)字母，就可以利用換元法分解因式．這就體現(xiàn)了整體思想．

有些多項(xiàng)式，表面上看較復(fù)雜，若能注意到題中的整體所在，利用整體思想去把握，則能化繁為簡，化難為易．

例1 分解因式：（x2＋x）2－14（x2＋x）＋24．

解析：在整體思想的指導(dǎo)下，我們很快地想到用換元法分解因式，即設(shè)x2＋x＝u，則：

原式＝u2－14u＋24＝（u－2）（u－12）＝（x2＋x－2）（x2＋x－12）

＝（x＋2）（x－1）（x＋4）（x－3）．

例2 分解因式：（x2－3x＋2）（x2－3x－4）－72．

解析：在整體思想的指導(dǎo)下，我們也很容易地得到以下的幾種解題方案．

方案1：將x2－3x看做一個(gè)整體，原式＝（x2－3x）2－2（x2－3x）－80＝（x2－3x－10）（x2－3x＋8）＝（x－5）（x＋2）（x2－3x＋8）．

方案2：將x2－3x＋2看做一個(gè)整體，原式＝（x2－3x＋2）2－6（x2－3x＋2）－72＝（x2－3x＋2－12）（x2－3x＋2＋6）＝（x－5）（x＋2）（x2－3x＋8）．

方案3：將x2－3x－4看做一個(gè)整體，原式＝（x2－3x－4＋6）（x2－3x－4）－72＝（x2－3x－4）2＋6（x2－3x－4）－72＝（x2－3x－4＋12）（x2－3x－4－6）＝（x－5）（x＋2）（x2－3x＋8）．

以上兩例，正是由于整體思想，使得繁與簡、新與舊達(dá)到和諧的統(tǒng)一．

數(shù)學(xué)問題的相似性是普遍存在的．根據(jù)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式之間的異同點(diǎn)，抓住其本質(zhì)特征，運(yùn)用類比思想去處理，則能將生疏的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題．

例3 分解因式：（x＋1）（x＋3）（x＋5）（x＋7）＋15．

解析：可將乘積（x＋1）（x＋3）（x＋5）（x＋7）轉(zhuǎn)化為兩個(gè)二次三項(xiàng)式（并且它們的一次項(xiàng)和二次項(xiàng)相同）的乘積．明確了解題的方向，再觀察系數(shù)特點(diǎn)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)（x＋1）（x＋3）（x＋5）（x＋7）＋15＝（x2＋8x＋7）（x2＋8x＋15）＋15，從而轉(zhuǎn)化為已解過的問題，利用整體思想不難加以解決，具體分解略．

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