吳行民

有些分式計(jì)算題，若按照課本上介紹的方法來(lái)進(jìn)行通分，往往計(jì)算量很大．這時(shí)如果能根據(jù)分式的特征，運(yùn)用一定的解題技巧，?？墒盏绞掳牍Ρ兜男Ч旅婢拖蛲瑢W(xué)們介紹幾種有用的通分策略．

一、分組通分

例1 計(jì)算：－＋－．

精講：直接通分非常繁瑣．因?yàn)椋▁＋2）（x＋3）和x（x＋5）的運(yùn)算結(jié)果有兩項(xiàng)相同，故可將第一個(gè)和第四個(gè)分式分在一組，其余分在另一組，最后通分時(shí)會(huì)給分子運(yùn)算帶來(lái)較大方便．

解：原式＝[ ][－]＝－

＝－．

二、逐步通分

例2 計(jì)算：＋＋＋．

精講：這里的幾個(gè)分式的分母很有特點(diǎn)：（1－x）（1＋x）＝1－x2，（1－x2）（1＋x2）＝1－x4，（1－x4）（1＋x4）＝1－x8．顯然，可將前兩個(gè)分式運(yùn)算的結(jié)果與第三個(gè)分式再運(yùn)算，再將結(jié)果與第四個(gè)分式運(yùn)算．這種逐步通分的方法比統(tǒng)一通分的方法要好．

解：原式＝＋＋＝＋＝．

三、拆項(xiàng)通分

例3 計(jì)算：＋＋＋．

精講：請(qǐng)觀察下面的運(yùn)算，從中可找出應(yīng)用于本題的規(guī)律來(lái)！

＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＋＝1－＝．

解：原式＝＋＋＋

＝－＝．

四、整體處理再通分

例4 計(jì)算：－a－1．

精講：分式部分的分母與整式部分有著特殊的關(guān)系，即（a－1）（a＋1）＝a2－1．由此可將－a－1看作是分母為1的式子進(jìn)行通分，這是捷徑．

解：原式＝－＝－＝．

五、約分后再通分

例5 計(jì)算：－＋－．

精講：先約去各個(gè)分式中分子與分母的公因式，然后再通分（注意合理分組），這樣處理比較方便．

解：原式＝－＋－＝－

＝－＝．

六、提取“公因式”后再通分

例6 計(jì)算：＋＋．

精講：給出的三個(gè)分式均含有，因此可先提取“公因式”，然后再通分，這是妙法．

解：原式＝＋－＝

＝·＝．

七、和差化積后再通分

例7 已知a＋b＋c＝0，abc≠0，化簡(jiǎn)＋＋．

精講：待化簡(jiǎn)的式子是關(guān)于a、b、c的輪換對(duì)稱式（即用a代替b、b代替c、c代替a后，式子不變），因此對(duì)一個(gè)分式進(jìn)行的化簡(jiǎn)可類似地應(yīng)用到另外的分式中．由a＋b＋c＝0，得a＝－（b＋c）．于是b2＋c2－a2＝b2＋c2－（b＋c）2＝－2bc．同理，可得c2＋a2－b2＝－2ac，a2＋b2－c2＝－2ab．代入待化簡(jiǎn)的式子，結(jié)果馬上得出．

解： ∵ a＋b＋c＝0， ∴ a＝－（b＋c）．

∴ b2＋c2－a2＝b2＋c2－（b＋c）2＝－2bc．

同理，有c2＋a2－b2＝－2ac，a2＋b2－c2＝－2ab．

∴ 原式＝＋＋＝－＝0．

總之，每道分式運(yùn)算的題目都有其自身的特殊性，因而，計(jì)算時(shí)應(yīng)先琢磨一下，以便發(fā)現(xiàn)最簡(jiǎn)捷的方法．