趙國瑞

題目 如圖1，過△ABC的頂點C作一條直線，與邊AB及中線AD分別交于點F和點E，求證：＝.

這是一道好題．通過結論的靈活轉換，可以獲得該題的多種證法.下面介紹有關的思路．

思路1：由＝，得＝，所以關鍵是找出線段FB.

聯(lián)想到三角形中位線性質，可取線段FB的中點M，連接DM，如圖2．則DM是△BCF的中位線，所以FM＝FB，DM∥EF．在△AMD中，由相似三角形的性質，得＝，即＝.

還可以過點D作DM∥AB交FC于點M，如圖3．因為D是BC中點，所以DM＝FB．由△AEF∽△DEM，得＝，即＝.

思路2：＝即＝，所以關鍵是找出線段2ED.

聯(lián)想到平行四邊形的性質，可延長ED到M，使DM=ED，如圖4，則EM=2ED.連接BM，易證△DEC≌△DMB（SAS），∠DEC＝∠DMB，所以FC∥BM．故EF∥BM．在△ABM中，由相似三角形的性質有＝，即＝.

還可以過B作BM∥ED交CF的延長線于M，如圖5．則ED是△CBM的中位線，所以BM=2ED.由△AEF∽△BMF，得＝，即＝.

思路3：由＝，得∶=2∶1．可過點A作AM∥BC交CF的延長線于點M，如圖6．由△AME∽△DCE，△AMF∽△BCF，則＝，＝.

由BC=2DC，易知∶=2∶1.

思路4：由＝，得∶=2∶1．可過點C作CF的垂線l，再分別過A、B、D向l引垂線，垂足分別為A′、B′、D′，如圖7．則=，=.由D是BC的中點知D′是B′C的中點，所以CB′=2CD′，從而∶=2∶1.

思路5：由＝，得∶=2∶1．結合圖形，聯(lián)想到同高的兩個三角形的面積的比等于它們的底邊的比，可連接BE，如圖8．則＝，=＝，所以由比例性質有=＝．

由D是BC的中點可知S△BEC=2S△EDC.

從而∶=2∶1.

當然，也可通過連接DF來完成證明，如圖9，請同學們動手試試．