永　亮

現(xiàn)行數(shù)學教科書上使用的“函數(shù)”一詞是轉(zhuǎn)譯詞，是我國清代數(shù)學家李善蘭在翻譯《代數(shù)學》一書時，把“function”譯成函數(shù)的．

函數(shù)（function）這一名詞，是德國的數(shù)學家萊布尼茨17世紀首先采用的．在最初，萊布尼茨用函數(shù)一詞表示變量x的冪，即x2，x3，…．其后萊布尼茨還用函數(shù)一詞表示曲線上的橫坐標、縱坐標、切線的長度、垂線的長度等所有與曲線上的點有關的量．

與萊布尼茨幾乎同時，瑞士數(shù)學家雅克·貝努利給出了和萊布尼茨相同的函數(shù)定義．1718年，雅克·貝努利的弟弟約翰·貝努利給出了函數(shù)的如下定義：由任一變數(shù)和常數(shù)的任意形式所構成的量叫做這一變數(shù)的函數(shù)．換句話說為：由x和常量所構成的任一式子都可稱之為關于x的函數(shù)．

約翰·貝努利的學生瑞士數(shù)學家歐拉，把約翰·貝努利關于函數(shù)的定義又推進了一步，使之更加明朗化．1775年，歐拉把函數(shù)定義為：“如果某些變量以某一種方式依賴于另一些變量，即當后面這些變量變化時，前面這些變量也隨著變化，我們把前面的變量稱為后面變量的函數(shù)．”

由此可以看到，由萊布尼茨到歐拉所引入的函數(shù)概念，都還是和解析表達式、曲線表達式等概念糾纏在一起的．

為了適應當時所出現(xiàn)的各種情況，為了適應數(shù)學的發(fā)展，法國數(shù)學家柯西引入了新的函數(shù)定義：“在某些變數(shù)間存在著一定的關系，當一經(jīng)給定其中某一變數(shù)的值，其他變數(shù)的值也可隨之而確定時，則將最初的變數(shù)稱為‘自變數(shù)，其他各變數(shù)則稱為‘函數(shù)．”在柯西的定義中，首先出現(xiàn)了“自變量”一詞．

這一定義和我們現(xiàn)行中學課本的定義是很相近的．在這里，函數(shù)的概念和曲線、連續(xù)、不連續(xù)等概念之間糾纏不清的情況，已經(jīng)得到了澄清．

但是，柯西的定義總還是考慮到x，y之間的關系可用解析式表示．德國數(shù)學家黎曼引入了新的定義：“對于x的每一個值， 總有完全確定了的值與之對應，而不拘于建立x，y之間的對應方法如何，均將y稱為x的函數(shù)．”

1834年，俄國數(shù)學家羅巴契夫斯基進一步提出函數(shù)的定義：“x的函數(shù)是這樣的一個數(shù)，它對于每一個x都有確定的值 ，并且隨著x一起變化．函數(shù)值可以由解析式給出，也可以由一個條件給出，這個條件提供了一種尋求全部對應值的方法．函數(shù)的這種依賴關系可以存在，但仍然是未知的.”這個定義指出了對應關系（條件）的必要性，利用這個關系可以求出每一個x的對應值．

1837年德國數(shù)學家狄里克雷認為怎樣去建立x與y之間的對應關系是無關緊要的，所以他的定義是：“如果對于x的每一個值，y總有一個完全確定的值與之對應，則y是x的函數(shù)．”這個定義抓住了概念的本質(zhì)屬性，變量y稱為x的函數(shù)，只須有一個法則存在，使得這個函數(shù)取值范圍中的每一個值，有一個確定的y值和它對應就行了，不管這個法則是公式或圖象或表格或其他形式．這個定義比前面的定義帶有普遍性，為理論研究和實際應用提供了方便．因此，這個定義曾被較長期地使用．

我們看到，函數(shù)這個重要概念發(fā)展到近代，經(jīng)過了一段如此漫長的道路，從某種意義上來說，它反映了人類對事物逐漸精確化的認識過程．數(shù)學史表明，重要的數(shù)學概念的產(chǎn)生和發(fā)展，對數(shù)學發(fā)展起著不可估量的作用．