本期導(dǎo)讀

你想知道“十五子游戲”的奧秘嗎？請(qǐng)看我國(guó)著名數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)為你揭秘.你想知道教材主編眼里的“軸對(duì)稱”嗎？請(qǐng)翻到第8頁(yè)，看王繼延教授解讀“對(duì)稱給我們帶來(lái)的數(shù)學(xué)美”.想搞好期末復(fù)習(xí)嗎？請(qǐng)翻到第69頁(yè)、第72頁(yè)，看于秀坤、李慶社老師為你支招……

作者簡(jiǎn)歷：陳景潤(rùn)，1933年5月22日生于福建閩侯．他家境貧寒，學(xué)習(xí)刻苦，在中、小學(xué)讀書時(shí)，就對(duì)數(shù)學(xué)情有獨(dú)鐘．他一有時(shí)間就演算習(xí)題，在學(xué)校里成了個(gè)“小數(shù)學(xué)迷”．他不善言辭，為人真誠(chéng)和善，從不計(jì)較個(gè)人得失，把畢生精力都獻(xiàn)給了數(shù)學(xué)事業(yè)．他高中沒(méi)畢業(yè)就以同等學(xué)力考入廈門大學(xué)，1953年畢業(yè)于廈門大學(xué)數(shù)學(xué)系，1957年進(jìn)入中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所并在華羅庚教授指導(dǎo)下從事數(shù)論方面的研究．歷任中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所研究員、學(xué)術(shù)委員會(huì)委員兼貴陽(yáng)民族學(xué)院、河南大學(xué)、青島大學(xué)、華中工學(xué)院、福建師范大學(xué)等校教授，國(guó)家科委數(shù)學(xué)學(xué)科組成員，《數(shù)學(xué)季刊》主編等職．主要從事解析數(shù)論方面的研究，并在哥德巴赫猜想研究方面取得國(guó)際領(lǐng)先的成果．這一成果在國(guó)際上被譽(yù)為“陳氏定理”，受到廣泛引用．

十五子游戲的奧秘是什么呢？請(qǐng)看我國(guó)著名數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)為你解讀.

我們先來(lái)介紹一點(diǎn)組合數(shù)學(xué)的知識(shí).有一堆東西，需要把它們排列出來(lái)，我們可以給每一個(gè)東西編一個(gè)號(hào)，例如按某種規(guī)定依次編為1，2，…，n.我們稱這個(gè)從小到大的序列（1，2，…，n）為順序列，但若出現(xiàn)一個(gè)大的數(shù)排在小的數(shù)的前面，例如（1，3，2，4，…，n），這是一個(gè)在順序上發(fā)生雜亂的序列，我們不妨稱之為非順序列.人們規(guī)定：若在一個(gè)序列中，有一個(gè)數(shù)排在比它還小的另一個(gè)數(shù)之前，我們稱之為1個(gè)倒置.例如非順序列（1，3，2，4，5）有1個(gè)倒置，又如（3，1，2，4，5）有2個(gè)倒置，因?yàn)?不僅在2之前，而且還排在1之前，再如（3，2，1，4，5）有3個(gè)倒置，因?yàn)?排在1，2的前面，這有2個(gè)倒置，2排在1的前面，又有1個(gè)倒置.我們稱順序列的倒置數(shù)為0 ，這是因?yàn)轫樞蛄袥](méi)有發(fā)生倒置.根據(jù)倒置數(shù)的奇偶性，我們可以把所有的序列分成兩類，一類是倒置數(shù)為偶數(shù)的序列，我們稱它為偶置序列（順序列也應(yīng)歸為倒置序列）；另一類是倒置數(shù)為奇數(shù)的序列，我們稱它為奇置序列.

設(shè)圖1是一個(gè)十五子游戲的初始位置，我們先把這15個(gè)數(shù)排成一個(gè)序列：5，1，4，3，10，8，2，13，6，9，14，12，7，15，11.數(shù)5排在最前面，因而有1，2，3，4這四個(gè)比它小的數(shù)排在它后面，所以僅僅對(duì)5來(lái)講，有4個(gè)倒置，我們把4寫在橫線下和5對(duì)應(yīng)；1排在第2，雖然5排在它前面，但這一個(gè)倒置在計(jì)算5的倒置數(shù)時(shí)已經(jīng)算過(guò)了，所以不再計(jì)算.而1的后面再也沒(méi)有比1小的數(shù)了，因而1的倒置數(shù)是0，把0記在1的下面；同理，4的后面而比4小的數(shù)有3和2兩個(gè)，因而4的下面記下2；依此類推，得圖2.由于4+0+2+1+5+3+0+5+0+1+3+2+0+1+0=27，因而這是一個(gè)奇置序列（請(qǐng)注意，這時(shí)我們是把空格拋開(kāi)來(lái)計(jì)算的），事實(shí)上，要判斷其是奇置序列還是偶置序列，用不著把這些倒置數(shù)加起來(lái).因?yàn)榕紨?shù)加偶數(shù)還是偶數(shù)，奇數(shù)加偶數(shù)還是奇數(shù)，就是說(shuō)，一個(gè)整數(shù)加上一個(gè)偶數(shù)并不改變?cè)瓉?lái)這個(gè)整數(shù)的奇偶性，因此我們只需數(shù)一下倒置數(shù)中有多少個(gè)奇數(shù).若有偶數(shù)個(gè)奇數(shù)，則這個(gè)序列是一個(gè)偶置序列，若有奇數(shù)個(gè)奇數(shù)，則這個(gè)序列一定是個(gè)奇置序列，圖2的下面一行數(shù)中共有1，5，3，5，1，3，1七個(gè)奇數(shù)，故馬上就可以斷定圖上的序列是一個(gè)奇置序列.

下面我們來(lái)研究一下，一個(gè)序列中相鄰的兩個(gè)數(shù)調(diào)換一下位置，倒置數(shù)會(huì)發(fā)生什么變化.例如一個(gè)序列中某一對(duì)相鄰的兩數(shù)為xy，當(dāng)兩數(shù)調(diào)換位置后，變?yōu)閥x，若x大于y，則xy的順序是不正常的，即有一個(gè)倒置，現(xiàn)在變?yōu)閥x，即小的數(shù)在前，大的數(shù)在后，因而原來(lái)的一個(gè)倒置消失了；若x小于y ，則xy這兩個(gè)數(shù)之間沒(méi)有倒置，變?yōu)閥x后，小的數(shù)在后，大的數(shù)在前，因而產(chǎn)生了一個(gè)倒置.因此，我們可以斷言，兩個(gè)相鄰的數(shù)調(diào)換位置后，序列倒置數(shù)的奇偶性一定發(fā)生改變.設(shè)有三個(gè)相鄰的數(shù)xyz，把x調(diào)到z的后面，變?yōu)閥zx，這時(shí)候我們可以把這樣的調(diào)換，先看做x與y變換位置，變?yōu)閥xz，再把x與z變換位置，變?yōu)閥zx，即經(jīng)過(guò)了兩次相鄰的調(diào)換，因而原序列倒置數(shù)的奇偶性發(fā)生兩次變化，即奇——偶——奇，或者是偶——奇——偶，這樣，一個(gè)數(shù)在序列里向前跳過(guò)兩個(gè)數(shù)或向后跳過(guò)兩個(gè)數(shù)后，序列的奇偶性不變.若是四個(gè)相鄰的數(shù)排成為xyzw，當(dāng)x調(diào)到w之后，變?yōu)閥zwx時(shí)，顯然還可以把這個(gè)變換看成x先與y交換，再與z交換，最后與w交換，因而原序列倒置數(shù)的奇偶性經(jīng)過(guò)三次變換，即奇——偶——奇——偶或偶——奇——偶——奇，故序列的奇偶性要變.

在十五子游戲中，我們的變化不過(guò)是把空格向左右、上下移動(dòng)，當(dāng)空格向左右移動(dòng)時(shí)，原位置的序列沒(méi)有發(fā)生變化.例如在某一行中，原來(lái)的位置是xyz，當(dāng)空格向右移動(dòng)時(shí)變?yōu)閤yz，空格向左移動(dòng)時(shí)變?yōu)閤yz，這兩種情況的序列都是xyz，因而我們斷言，當(dāng)空格向左右移動(dòng)時(shí)，原序列的倒置數(shù)不變，所以倒置數(shù)的奇偶性沒(méi)有發(fā)生變化.當(dāng)空格向上移動(dòng)一格時(shí)，例如由圖3變?yōu)閳D4，圖3展開(kāi)的序列為（**xyzw*），圖4展開(kāi)的序列為（**yzwx*），即向后跳三個(gè)位置，因而按前面的分析，序列的奇偶性要改變.同理當(dāng)空格往下移動(dòng)一格時(shí)，即由圖4變?yōu)閳D3時(shí)，序列的奇偶性也要改變.而當(dāng)空格向上移動(dòng)一格后，又向右或者向左移動(dòng)時(shí)，最后又向下移動(dòng)到空格原來(lái)所在行時(shí)，則序列倒置數(shù)的奇偶性變化了兩次.因而知道倒置數(shù)的奇偶性不變.若空格向上或向下移動(dòng)兩次，則序列倒置數(shù)的奇偶性也變化了兩次，結(jié)果倒置數(shù)奇偶性仍然不改變，但若向上或向下移動(dòng)三次則奇偶性就要改變了.在十五子游戲中，最后結(jié)果空格是在第四行，因而若空格原來(lái)在第四行或者第二行，則到最后位置時(shí)，序列的奇偶性不會(huì)改變，若空格原來(lái)的位置是在第一行或第三行時(shí)，則最后位置的倒置數(shù)的奇偶性要發(fā)生變化.我們?cè)谇懊嬉呀?jīng)講過(guò)，不論十五子游戲的最初位置如何，最終總可以變?yōu)檎Ｅ帕校ㄅ贾眯蛄校┗蚱娈惻帕校ㄆ嬷眯蛄校?因此，當(dāng)原位置的序列是偶置序列，而空格在第一行或第三行時(shí)，它只能變?yōu)椤捌娈惻帕小?；若空格在第二行或第四行，則一定可以變?yōu)檎Ｅ帕?當(dāng)原位置的序列是奇置序列，而空格在第一行或第三行時(shí)，則最終總可以變?yōu)椤罢Ｅ帕小保划?dāng)空格在第二行或第四行時(shí)，它就只能為“奇異排列”了.到此，我們就完全掌握十五子游戲的奧秘了.因?yàn)槲覀儾坏馨阉懦勺罱K狀況，而且能預(yù)先就知道它能不能排成“正常排列”.這只需簡(jiǎn)單計(jì)算一下序列倒置數(shù)的奇偶性，且看一下空格在第幾行就行了.就這樣，我們僅僅使用了一點(diǎn)點(diǎn)數(shù)學(xué)概念就把神秘的十五子游戲變得十分簡(jiǎn)單明了了.

（待續(xù)完）