陳 聰
在剛學(xué)等腰三角形時(shí),老師總是強(qiáng)調(diào)等腰三角形的性質(zhì)與判定非常重要,開(kāi)始你可能還不以為然,當(dāng)你拿起筆來(lái)做題時(shí),就會(huì)發(fā)現(xiàn)你的解題速度慢了許多.陳聰同學(xué)就遇到了這個(gè)問(wèn)題,可是,他在老師的“只要肯動(dòng)腦,及時(shí)總結(jié),相信你一定能行”的語(yǔ)言的鼓舞下,在同學(xué)們相互交流中,他漸漸地發(fā)現(xiàn)了一些判定等腰三角形的“小竅門(mén)”,一試還挺管用呢,大家一起來(lái)看看吧.
竅門(mén)1:角平分線+垂直=等腰三角形
例1如圖1,在△ABC中,AD為角平分線,且AD⊥BC,垂足為D,試猜想BC與BD有什么數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.
思路分析:由題意可知,AD既為∠BAC的平分線,又是BC邊上的中線,很像等腰三角形中的“三線合一”性質(zhì),故只要能證明△ABC為等腰三角形,便可猜想結(jié)論,已知兩角及夾邊(公共邊)相等,故可用“角邊角”證△ADB≌△ADC.
解:BC=2BD,理由如下:
∵AD為角平分線,
∴∠BAD=∠CAD.
∵AD⊥BC,
∴∠BDA=∠CDA=90°.
∵在△ABD和△ACD中,∠BAD=∠CAD,
AD=AD,
∠BDA=∠CDA,
∴△ABD≌△ACD(ASA).
∴AB=AC.
∵AD⊥BC,
∴BD=CD.
即BC=2BD.
教師點(diǎn)評(píng):當(dāng)三角形中一線既為一角的平分線,又是一邊上的垂線時(shí),由全等易證此三角形為等腰三角形,然后得出結(jié)論.當(dāng)然此題也可由兩個(gè)三角形全等直接得到結(jié)論.
竅門(mén)2:角平分線+平行=等腰三角形
例2如圖2,△ABC中,∠ABC、∠ACB的角平分線相交于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)F作DE∥BC,交AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E.求證:DE=BD+EC.
思路分析:要證DE=DB+EC,而DE=DF+EF(即要證DF+EF=BD+EC),只要證DF=BD,EF=CE,故轉(zhuǎn)化為證△BDF和△CEF為等腰三角形.由“兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等”易證同一三角形中的兩角相等.
證明:∵BF為∠ABC的平分線,
∴∠DBF=∠CBF.
∵DE∥BC,
∴∠DFB=∠CBF.
∴∠DBF=∠DFB.
∴BD=FD.
同理EC=EF.
∴BD+EC=FD+EF.
即BD+EC=DE.
教師點(diǎn)評(píng):若過(guò)角平分線上的一點(diǎn)作一邊的平行線,與另一邊相交,則構(gòu)成的三角形為等腰三角形.
竅門(mén)3:垂直+線段平分=等腰三角形
例3如圖3,在△ABC中,AD為∠BAC的平分線,EF⊥AD,AE=DE,求證:∠B=∠FAC.
思路分析:要證∠B=∠CAF,已知∠BAD=∠CAD,∠FDA=∠B+∠BAD,∠FAD=∠FAC+∠CAD,因而只要證∠FAD=∠FDA,故只需證△FAD為等腰三角形.由EF⊥AD,AE=DE,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)易得FA=FD.
證明:∵AD為∠BAC的平分線,
∴∠BAD=∠CAD.
∵EF⊥AD,AE=DE,
∴FA=FD.
∴∠FAD=∠FDA.
又∵∠FAD=∠FAC+∠CAD,∠FDA=∠B+∠BAD,
∴∠B=∠FAC.
教師點(diǎn)評(píng):若三角形一邊上的垂線同時(shí)平分這條邊(即為一邊的垂直平分線),由線段垂直平分線的性質(zhì)易證此三角形為等腰三角形.
中學(xué)生數(shù)理化·七年級(jí)數(shù)學(xué)華師大版2008年6期