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        關(guān)于十五子的游戲

        2008-06-16 10:15:04陳景潤
        關(guān)鍵詞:奇偶性空格奇數(shù)

        陳景潤

        我們先來介紹一點(diǎn)組合數(shù)學(xué)的知識.有一堆東西,需要把它們排列出來,我們可以給每一個東西編一個號,例如按某種規(guī)定依次編為1,2,…,n.我們稱這個從小到大的序列(1,2,…,n)為順序列,但若出現(xiàn)一個大的數(shù)排在小的數(shù)的前面,例如(1,3,2,4,…,n),這是一個在順序上發(fā)生雜亂的序列,我們不妨稱之為非順序列.人們規(guī)定:若在一個序列中,有一個數(shù)排在另一個比它還小的數(shù)之前,我們稱之為一個倒置.例如非順序列(1,3,2,4,5)有一個倒置,又如(3,1,2,4,5)有兩個倒置,因?yàn)?不僅在2之前,而且還排在1之前,再如(3,2,1,4,5)有三個倒置,因?yàn)?排在1,2的前面,這有兩個倒置,2排在1的前面,又有一個倒置.我們稱順序列的倒置數(shù)為0 ,這是因?yàn)轫樞蛄袥]有發(fā)生倒置.根據(jù)倒置數(shù)的不同,我們可以把所有的序列分成兩類,一類是倒置數(shù)為偶數(shù)的序列,我們稱之為偶置序列(順序列也應(yīng)歸為偶置序列);另一類是倒置數(shù)為奇數(shù)的序列,我們稱之為奇置序列.

        設(shè)圖18是一個十五子游戲的初始位置,我們先把這15個數(shù)排成一個序列:5,1,4,3,10,8,2,13,6,9,14,

        12,7,15,11. 5排在最前面,因而有1,2,3,4這四個比它小的數(shù)排在它后面,所以僅僅對5來講,有4個倒置,我們把4寫在橫線下和5對應(yīng);1排在第2,雖然5排在它前面,但這個倒置在計(jì)算5的倒置數(shù)時已經(jīng)算過了,所以不再計(jì)算,而1的后面再也沒有比1小的數(shù)了,因而1的倒置數(shù)是0,把0記在1的下面;同理,4的后面比 4小的數(shù)有3和2兩個,因而在4的下面記下2;依此類推,得圖19.由于4+0+2+1+5+3+0+5+0+1+ 3+2+0+1+0= 27是一個奇數(shù),因而這是一個奇置序列(請注意,這時我們是把空格拋開來計(jì)算的).事實(shí)上,要判斷其是奇置序列還是偶置序列,用不著把這些倒置數(shù)加起來.因?yàn)榕紨?shù)加偶數(shù)還是偶數(shù),奇數(shù)加偶數(shù)還是奇數(shù),就是說,一個整數(shù)加上一個偶數(shù)并不改變原來這個整數(shù)的奇偶性,因此我們只需數(shù)一下倒置數(shù)中有多少個奇數(shù),若是偶數(shù)個奇數(shù),則這個序列是一個偶置序列;若有奇數(shù)個奇數(shù),則這個序列一定是個奇置序列,圖19的下面一行數(shù)中共有1,5,3,5,1,3,1七個奇數(shù),故馬上斷定圖上的序列是一個奇置序列.

        下面我們來研究一下,一個序列中相鄰的兩個數(shù)調(diào)換一下位置,倒置數(shù)會發(fā)生什么變化.例如一個序列中某一對相鄰的兩數(shù)為xy,當(dāng)兩數(shù)調(diào)換位置后,變?yōu)閥x.若x大于y,則xy的順序是不正常的,即有一個倒置,現(xiàn)在變?yōu)閥x,即小的在前,大的在后,因而原來的一個倒置消失了;若x小于y ,則xy這兩個數(shù)之間沒有倒置,變?yōu)閥x后,小的在后,大的在前,因而產(chǎn)生了一個倒置.因此,我們可以斷言,兩個相鄰的數(shù)若調(diào)換位置后,序列倒置數(shù)的奇偶性一定發(fā)生改變.若有三個相鄰的數(shù)xyz,把x調(diào)到z的后面,變?yōu)閥zx,這時候我們可以把這樣的調(diào)換,先看為是x與y變換位置,變?yōu)閥xz,再把x與z變換位置,變?yōu)閥zx,即經(jīng)過了兩次相鄰的調(diào)換,因而原序列倒置數(shù)的奇偶性要發(fā)生兩次變化,即奇—偶—奇,或者是偶—奇—偶,這樣,一個數(shù)在序列里向前跳過兩個數(shù)或向后跳過兩個數(shù)后,序列的奇偶性不變.若是有四個相鄰的數(shù)排成xyzw,當(dāng)x調(diào)到w后面,變?yōu)閥zwx時,顯然還可以把這個變換分成三個相鄰的變換,即x先與y交換,再與z交換,最后與w交換,因而原序列倒置數(shù)的奇偶性也經(jīng)過三次變換,即奇—偶—奇—偶或偶—奇—偶—奇,故序列的奇偶性要變.

        在十五子游戲中,我們的變化不過是把空格向左右或向上下移動,當(dāng)空格向左右移動時,原位置的序列沒有發(fā)生變化,例如在某一行中,原來的位置是[xyz],當(dāng)空格向右移動時變?yōu)閇xyz],空格向左移動時變?yōu)閇xyz],這兩種情況的排列都是xyz,因而我們斷言,當(dāng)空格向左右移動時,原序列的例置數(shù)不變,所以倒置數(shù)的奇偶性沒有發(fā)生變化.當(dāng)空格向上移動時,例如由圖20變?yōu)閳D21,因?yàn)閳D20展開的序列為(**xyzw*),而圖21展開的序列為(**yzwx*),即x向后跳了三個位置,因而按前面的分析,序列的奇偶性要改變.同理,當(dāng)空格往下移動一格時,即由圖21變?yōu)閳D20時,序列的奇偶性也要改變.而當(dāng)空格向上移動一格后,又向右或者向左移動時,最后又向下移動到空格原來所在的行時,則序列倒置數(shù)的奇偶性變化了兩次,因而知道倒置數(shù)的奇偶性不變.若空格向上或向下移動兩格,則序列倒置數(shù)的奇偶性也變化了兩次,結(jié)果倒置數(shù)的奇偶性仍然不改變,但若向上或向下移動三次則奇偶性就要改變了.在十五子游戲中,最后結(jié)果空格是在第四行,因而若空格原位置在第四行或者第二行,則到最后位置(即圖16或圖17)時,序列的奇偶性不會改變;若空格原來的位置是在第一行或第三行時,則最后位置的倒置數(shù)的奇偶性要發(fā)生變化.我們在前面已經(jīng)講過,不論十五子游戲的最初位置如何,最終總可以變?yōu)閳D16的正常排列(偶置序列)或圖17的奇異排列(奇置序列).因此,當(dāng)原位置的序列是偶置序列,而空格在第一行或第三行時,它只能變?yōu)槠娈惻帕?;若空格在第二行或第四行,則一定可以變?yōu)檎E帕?當(dāng)原位置的序列是奇置序列,而空格在第一行或第三行時,則最終可以變?yōu)檎E帕校划?dāng)空格在第二行或第四行時,它就只能為奇異排列了.由于正常排列與奇異排列的空格都在第四行,因而正常排列(偶置序列)再經(jīng)過任何移動也不可能變?yōu)槠娈惻帕校ㄆ嬷眯蛄校?到此,我們就完全掌握十五子游戲的奧秘了.因?yàn)槲覀儾坏馨阉懦勺罱K狀況,而且能預(yù)先就知道它能不能排成正常排列,這只要簡單計(jì)算一下序列倒置數(shù)的奇偶性,且看一下空格在第幾行就行了.就這樣,我們僅僅使用了一點(diǎn)點(diǎn)數(shù)學(xué)概念就把神秘的十五子游戲變得十分簡單明了.

        順便指出,任何n2個縱橫數(shù)相同的小方格和(n2 - 1)個小紙板都可以玩“n2 - 1子游戲”,例如縱橫各五的二十五個小方格和二十四個小紙板的“二十四子游戲”與十五子游戲一樣,可以總結(jié)出規(guī)律,并且規(guī)律更簡單一些,這里我們就不再多介紹了.(續(xù)完)

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