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        不等式(組)錯解剖析

        2008-06-16 10:15:04王堯興
        關鍵詞:不等號甲隊移項

        王堯興 等

        不等式(組)是初中代數(shù)的重要內(nèi)容,理解不等式(組)的解與解集的意義,靈活運用不等式的基本性質(zhì),是正確解決不等式(組)問題的關鍵.同學們在解決這部分問題時,往往會出現(xiàn)一些錯誤,現(xiàn)將易出現(xiàn)的錯誤歸類剖析如下,以幫助同學們提高認識,不犯類似的錯誤.

        1. 性質(zhì)不清

        例1判斷下列說法是否正確.

        (1)若a>b,則ac2>bc2.(2)若ab>c,則a>.

        (3)若a-b>a,則b>0.(4)若ab>0,則a>0,b>0.

        【錯解】(1)因為c2>0,故ac2>bc2正確.

        (2)不等式兩邊同除以b,得a>,故正確.

        (3)不等式兩邊同時減去a,再同乘以-1,得b>0,故正確.

        (4)根據(jù)同號相乘得正的法則可知這種說法正確.

        [剖析:]上述解答的錯因主要是對不等式的基本性質(zhì)理解不清,或者是對問題所涉及的范圍未作全面分析.

        【正解】(1)不正確.當c=0時,ac2=bc2.此處應注意,若ac2>bc2,則a>b,這里隱含了c≠0的條件.

        (2)不正確.若b<0,則要改變不等號的方向;若b = 0,則不等式兩邊不能同除以b.

        (3)不正確.根據(jù)不等式的基本性質(zhì)1,不等式兩邊都減去a,得-b>0.再根據(jù)不等式的基本性質(zhì)3,不等式兩邊同乘以-1,不等號的方向改變,得b<0.

        (4)不正確.ab>0,則a、b同號,可能是a>0,b>0,但也可能是a<0,b<0.

        [點評:]利用不等式的性質(zhì)解題時,要注意不等號的方向是否變化,分析同乘以(或除以)的那個數(shù)的符號特征,并善于用特征推證命題的正確與否.

        2. 去分母時漏乘某一項

        例2解不等式-1<.

        【錯解】去分母,得x+5-1<3x+2.

        移項,合并同類項,得-2x<-2.

        兩邊同除以-2,得x>1.

        [剖析:]去分母時,不等式左邊的-1沒有乘以2.

        【正解】不等式兩邊同乘以2,得

        2 ×

        -1<2 × .

        化簡,得x+5-2<3x+2.解得x>.

        [點評:]去分母時,根據(jù)不等式的性質(zhì),不等式兩邊同乘以各分母的最小公倍數(shù),不要漏乘不含分母的項.

        3. 不明題意

        例3求不等式≥-1的非負整數(shù)解.

        【錯解】去分母,得3-x≥-2.

        移項并合并同類項,得-x ≥-5.

        兩邊都除以-1,得x ≤ 5.

        故原不等式的非負整數(shù)解為1,2,3,4,5.

        [剖析:]非負整數(shù)包括正整數(shù)和0,錯解漏掉了非負整數(shù)中的0.

        【正解】解不等式的過程同上,原不等式的非負整數(shù)解為0,1,2,3,4,5.

        [點評:]解題時要弄清題目中所要求的內(nèi)容,不要大意.

        4. 考慮不仔細

        例4關于x的不等式組x ≥ 3,

        x ≤ m無解,則m的取值范圍為.

        【錯解】填 m ≤ 3.

        [剖析:]當m = 3時,不等式組x ≥ 3,

        x ≤ m存在公共部分x=3,因此必須排除m=3.

        【正解】填m<3.

        [點評:]由不等式組有解(或無解),求待定字母的取值范圍時,一定要考慮全面.尤其是端點的值能否取等號,需要特別加以考慮,以確保不重不漏.

        5. 忽略隱含條件

        例5一輛有12個座位的小型公共汽車上已有4名乘客,到一個站后又上來x名(x可以等于0)乘客,此時車上仍有空座位.試判斷x可以取哪些值.

        【錯解】根據(jù)題意可得不等式x+4<12.

        解得x<8.故x可以取小于8的任意數(shù).

        [剖析:]這道題中的x是又上來的乘客的人數(shù),應該是自然數(shù),所以這道題隱含了x是自然數(shù)這個條件.

        【正解】x可以取小于8的自然數(shù).

        [點評:]求實際問題中某個量的取值范圍時一定要注意,要考慮使實際問題有意義.

        6. 理解偏差

        例6甲、乙兩隊進行足球比賽,規(guī)定每隊勝一場得3分,平一場得1分,負一場得0分.兩隊一共比賽了10場,甲隊保持不敗,得分超過22分.甲隊至少勝了多少場?

        【錯解】設甲隊勝了x場.

        根據(jù)題意,得3x+(10-x)>22.

        解得x>6.故甲隊至少勝了6場.

        [剖析:]解答中前面的部分都正確,錯在最后一步.

        因為x>6并不包括6,根據(jù)題意,滿足x>6的最小整數(shù)為7.

        【正解】解題過程略,甲隊至少勝了7場.

        [點評:]在具體問題中,要根據(jù)一些關鍵詞(如超過、不足、以外、打破紀錄等)所蘊含的不等關系列出不等式(組),在求出不等式(組)的解集后,應仔細考慮題目的要求,寫出合理的答案.要特別注意“至少”、“超額”等關鍵詞語的含義,然后找出符合題意的正確答案.

        【責任編輯:潘彥坤】

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