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        共角定理

        2008-04-29 00:00:00張景中彭翕成

        在三角形中,角與邊總是相對的.那么,既然有共邊定理,是否存在共角定理呢?答案是肯定的!我們先來看一個常見的題目.

        例1如圖1,P、Q分別在△ABC的邊AB、AC上,且AB=3AP,AC=4AQ.求△APQ和△ABC的面積之比.

        解:連接CP,則==,==,則=·=·=.

        探究例1的本質(zhì),我們發(fā)現(xiàn)△ABC和△APQ有公共角∠A,而且題目所牽涉到的“線段”都是在∠A的兩邊,而不是在BC或PQ上.而例1的解答,則是通過作輔助線,將兩個共角的三角形轉(zhuǎn)化為共邊的三角形.把這個例子推廣到一般的情形,就是共角定理.

        共角定理:△ABC和△XYZ中,若∠ABC和∠XYZ相等或互補(bǔ),則有=.

        形象地說,共角定理就是指,兩個三角形,若有一個角相等(或互補(bǔ)),則這兩個三角形的面積之比就等于(夾這個角的)各自兩邊之積的比.

        證明:如圖2、圖3,仿照例1的證明,=·=·=.

        我們以前說過,一個定理重要與否,要看它解決問題的多少,也要看它應(yīng)用范圍的大小.一般來說,應(yīng)用范圍較小的命題是不能稱之為定理的.下面,我們就來看一看共角定理的威力到底有多大.

        例2(角平分線定理)如圖4,在△ABC中,已知AD是∠BAC的角平分線.求證:=.

        證明:=[共角定理][=]=.

        例3(三角形中位線定理)如圖5所示,在△ABC中,AB的中點(diǎn)為M,過M作BC的平行線與邊AC交于N.求證:=.

        證明:由MN∥BC可知∠ANM=∠C.由共角定理可得

        =[∠ANM=∠C][=],

        再由=,約去,可得=.

        例4如圖6,已知△ABC和△XYZ中,∠A=∠X,∠B=∠Y.求證:==.

        證明:由題意可知∠C=∠Z.由共角定理可得===.各項同乘以,可得==.

        例5如圖7,點(diǎn)D、E、F分別為△ABC三邊上的點(diǎn),且===.求證:=1-.

        證明:[∠A為公共角][=]=·=.同理,=,=.所以==1-.

        例6如圖8,點(diǎn)E、F、G、H分別為四邊形ABCD各邊上的點(diǎn),且====.求證:=1-.

        證明:由共角定理,==·=.同理=,=,=.所以

        ==1-.①

        而S△AFE=S△ABD,S△BGF=S△BCA,S△CGH=S△CBD,S△DEH=S△DAC,故S△AFE+S△BGF+S△CGH+S△DEH=(S△ABD+S△BCA+S△CBD+S△DAC)=·2S四邊形ABCD.

        代入①有=1-.

        注:“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文”。

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