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        勾股定理史話

        2008-04-29 00:00:00田載今

        教科書(shū)第十八章《勾股定理》中,除了包括勾股定理及其逆定理的知識(shí)內(nèi)容外,還介紹了關(guān)于這些內(nèi)容的一些歷史資料,體現(xiàn)了濃重的數(shù)學(xué)文化氣息.

        古代中國(guó)人把直角三角形較短的直角邊叫做勾,較長(zhǎng)的直角邊叫做股,斜邊叫做弦.由于勾和股兩者的長(zhǎng)確定后,弦的長(zhǎng)也隨之確定,所以人們把反映勾、股、弦長(zhǎng)度之間的數(shù)量關(guān)系的一個(gè)命題稱為勾股定理.這個(gè)定理的敘述形式并不復(fù)雜,即“直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方”,寥寥二十余個(gè)漢字就表達(dá)了它;又可以用數(shù)學(xué)式子的形式表達(dá)為:“若直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)分別為a、b,斜邊的長(zhǎng)為c,則a2+b2=c2.” 勾股定理在數(shù)學(xué)中具有重要的地位,它揭示了直角三角形的三邊之間的一種特有規(guī)律.人們對(duì)它的發(fā)現(xiàn)和研究可以追溯到遠(yuǎn)古的年代.

        [一][勾股定理的發(fā)現(xiàn)有悠久的歷史]

        公元前約2 000年的巴比倫人對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展有重要貢獻(xiàn).從考古學(xué)家發(fā)現(xiàn)的大約公元前15世紀(jì)的楔形文字,數(shù)學(xué)家推斷當(dāng)時(shí)的巴比倫人已經(jīng)知道了勾股定理所揭示的內(nèi)容.

        中國(guó)人對(duì)勾股定理的發(fā)現(xiàn)也位居世界前列.中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記載,周公問(wèn)商高有關(guān)測(cè)量的問(wèn)題,商高的回答中提到,作一個(gè)邊長(zhǎng)分別為3,4,5的三角形,就可以畫(huà)出直角,并提到大禹治水時(shí)就曾用這種方法進(jìn)行測(cè)量.雖然“勾三股四弦五”所說(shuō)的只是一種特殊的直角三角形,但是商高所說(shuō)內(nèi)容畢竟是涉及勾股定理的最早記載之一.

        《周髀算經(jīng)》中還有另一涉及勾股定理的記載“陳子測(cè)日”,說(shuō)的是一個(gè)叫陳子的人,他曾利用測(cè)量桿子及其影子的方法計(jì)算太陽(yáng)與測(cè)量者的距離.陳子計(jì)算直角三角形的斜邊時(shí),所用方法是“勾股各自乘,并而開(kāi)方除之”.用現(xiàn)在的語(yǔ)言說(shuō),即“兩條直角邊各自平方,相加后再開(kāi)平方”.可見(jiàn)他已認(rèn)識(shí)到了一般直角三角形中三邊之間的數(shù)量關(guān)系,并能熟練地運(yùn)用它解決問(wèn)題.“陳子測(cè)日”比商高的話更進(jìn)一步反映了勾股定理的本質(zhì).

        公元前6世紀(jì),古希臘的畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了直角三角形中三邊之間的數(shù)量關(guān)系,相傳他是觀察地板磚時(shí)受到啟發(fā)的,教科書(shū)中對(duì)此有所介紹.西方人稱勾股定理為畢達(dá)哥拉斯定理.有數(shù)學(xué)史學(xué)者說(shuō),畢達(dá)哥拉斯年輕時(shí)曾在巴比倫學(xué)習(xí),還可能到過(guò)印度,而巴比倫人早已知道直角三角形中三邊之間的數(shù)量關(guān)系.中國(guó)人在畢達(dá)哥拉斯之前也已知道它并可能將其傳至印度,所以畢達(dá)哥拉斯的發(fā)現(xiàn)有可能與前人的研究有關(guān).但是這種猜測(cè)有待進(jìn)一步考證.

        [二][勾股定理的證明有多種方法]

        公元前3世紀(jì),古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在前人研究成果的基礎(chǔ)上,編寫(xiě)了一部非常重要的數(shù)學(xué)著作《幾何原本》.在這部書(shū)中,歐幾里得給出了如下的勾股定理證法.

        如圖1,以Rt△ABC的三邊為邊,分別向外作三個(gè)正方形AGFB,BDEC,CKHA.連接AD,CF,作AL⊥DE于L,交BC于M.正方形AGFB的面積=2×△FBA的面積=2×△FBC的面積,長(zhǎng)方形BDLM的面積=2×△MBD的面積=2×△ABD的面積,而△FBC≌△ABD(SAS),所以正方形AGFB的面積=長(zhǎng)方形BDLM的面積.類(lèi)似地可證,正方形CKHA的面積=長(zhǎng)方形MLEC的面積.因此,正方形BDEC的面積=長(zhǎng)方形BDLM的面積+長(zhǎng)方形MLEC的面積=正方形AGFB的面積+正方形CKHA的面積,即BC2=AB2+AC2.

        勾股定理引起許多人的興趣,大家給出了很多種證明方法,甚至連身居高位的政治家也對(duì)它著迷.圖2是美國(guó)第20任總統(tǒng)加菲爾德給出的一種證法.他以邊長(zhǎng)分別為a、b、c的Rt△ABC為基礎(chǔ),構(gòu)造了梯形ACDE.這個(gè)梯形的面積等于圖中三個(gè)三角形面積的和,即(a+b)2=2×ab+c2.于是,得a2+b2=c2.

        據(jù)統(tǒng)計(jì),人們對(duì)勾股定理前前后后給出了400多種證法,這使得勾股定理成為證法最多的一個(gè)定理.

        [三][勾股定理的地位非常重要]

        勾股定理是一個(gè)非常重要的定理.它的影響不僅是在平面幾何方面,而且深入到數(shù)學(xué)的其他分支.在今后的學(xué)習(xí)中,你會(huì)感受到勾股定理非常有用.下面給出幾個(gè)這方面的例子.

        三角函數(shù)是一類(lèi)重要的函數(shù),對(duì)它的研究也與勾股定理有密切聯(lián)系.

        在Rt△ABC中,∠C是直角,銳角∠A的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦函數(shù),∠A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦函數(shù).由勾股定理可以推出這兩個(gè)函數(shù)的平方和

        2+

        2===1,于是得到同一個(gè)銳角的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)之間的一種重要關(guān)系,即它們的平方和總是常數(shù)1.類(lèi)似地,對(duì)于任意角(不限于銳角)的正弦函數(shù)和余弦函數(shù),利用勾股定理也能得到同樣結(jié)論.在這種關(guān)系的基礎(chǔ)上,又可以進(jìn)一步得到更多的三角函數(shù)公式.

        解析幾何是通過(guò)坐標(biāo)方法來(lái)研究幾何圖形的一個(gè)數(shù)學(xué)分支.兩點(diǎn)間的距離公式是解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí),對(duì)它的推導(dǎo)是勾股定理的又一應(yīng)用.

        如圖3,設(shè)平面直角坐標(biāo)系中有P(x1,y1)和Q(x2,y2)兩點(diǎn),則由勾股定理可知線段PQ的長(zhǎng)為,于是得到平面上兩點(diǎn)的距離公式PQ=.

        如圖4,在以O(shè)(0,0)為圓心,r為半徑的圓上,任意一點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)的距離都等于r,于是有=r,即x2+y2=r2.這就是解析幾何中關(guān)于這個(gè)圓的方程.顯然,它也是以勾股定理為基礎(chǔ)得出的.

        注:“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文”。

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