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        例析與勾股定理有關(guān)的數(shù)學(xué)思想

        2008-04-29 00:00:00周啟東

        作者簡介 周啟東,江蘇省揚(yáng)州市湯汪中學(xué)八年級數(shù)學(xué)備課組組長、數(shù)學(xué)教研組組長.教學(xué)成績一直處在全區(qū)的前列,近年來曾獲得揚(yáng)州市廣陵區(qū)“教學(xué)創(chuàng)新能手”稱號,廣陵區(qū)“育花獎”賽課一等獎,揚(yáng)州市“教學(xué)創(chuàng)新能手”稱號,揚(yáng)州市“中青年教學(xué)骨干”稱號.多年來一直參與江蘇省規(guī)劃重點(diǎn)課題的研究.發(fā)表文章200多篇.主編教輔書10多部,參編10多部.

        數(shù)學(xué)思想是解數(shù)學(xué)題的“靈魂”.總結(jié)、概括數(shù)學(xué)思想,有利于透徹地理解所學(xué)知識,提高分析問題和解決問題的能力. 現(xiàn)把《勾股定理》這一章中的數(shù)學(xué)思想總結(jié)如下.

        [一、分類討論的思想]

        例1在△ABC中,AB=6,BC=10.要使這個(gè)三角形是直角三角形,則AC的長是多少?

        分析:要使△ABC是直角三角形,它的三邊就要滿足勾股定理的逆定理.很多同學(xué)容易聯(lián)想到勾股數(shù)6、8、10,認(rèn)為要求的AC是直角邊,AC=8,從而造成漏解.本題應(yīng)該就AC邊是直角邊還是斜邊分兩種情況討論.

        解:設(shè)AC=x.因?yàn)橐埂鰽BC是直角三角形,所以AB、BC、AC這三條邊應(yīng)當(dāng)滿足AC2=AB2+BC2或BC2=AB2+AC2,即x2=62+102或102=62+x2.因?yàn)閤為正數(shù),所以可得x=2或x=8.故AC的長為2或8.

        點(diǎn)撥:要使一個(gè)三角形是直角三角形,那么三邊的長一定滿足較短兩邊的平方和等于最長邊的平方.如果所求的邊沒有交待清楚是直角邊還是斜邊,它就有可能是最長邊,也有可能不是最長邊.這提醒我們,平時(shí)做題時(shí)應(yīng)當(dāng)養(yǎng)成認(rèn)真審題、一絲不茍的好習(xí)慣,注意分類討論.

        [二、方程的思想]

        例2如圖1,有一張直角三角形紙片ABC,兩直角邊AC=6 cm,BC=8 cm.將△ABC折疊,使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合,折痕為DE,則CD等于().

        A.cmB.cmC.cmD.cm

        分析:這是一個(gè)和折紙有關(guān)的問題.在思考過程中,可以先動手做一做,體驗(yàn)一下圖形的變化規(guī)律,然后再尋找題中相關(guān)線段之間的數(shù)量關(guān)系.勾股定理的數(shù)學(xué)表達(dá)式是一個(gè)含有平方關(guān)系的等式.求線段的長時(shí),可由此“等式”列出方程,運(yùn)用方程思想分析問題和解決問題.

        解:由折疊過程可以得到AD=BD.設(shè)CD=x cm,則AD=(8-x) cm.在Rt△ACD中,根據(jù)勾股定理,得到AD2=AC2+CD2,即(8-x)2=62+x2,解得x=.因此,應(yīng)選擇C.

        點(diǎn)撥:在近年的中考中,這類折疊問題呈現(xiàn)的方式常常都很活潑、親切.在解決問題的過程中,同學(xué)們完全可以現(xiàn)場實(shí)際操作、體驗(yàn),充分感知探索的樂趣.不過,解題的關(guān)鍵還是要抓住題目中各線段之間的相互關(guān)系,利用勾股定理并結(jié)合方程的思想進(jìn)行正確的求解.折疊過程一般都會出現(xiàn)一些相等的線段和相等的角,適當(dāng)?shù)貥?biāo)注這些關(guān)系有利于解題.同學(xué)們在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中,應(yīng)當(dāng)充分利用訓(xùn)練的機(jī)會,多探究.

        [三、數(shù)形結(jié)合的思想]

        例3如圖2,在由單位正方形組成的網(wǎng)格中,標(biāo)有AB、CD、EF、GH四條線段.其中能構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的線段是().

        A. CD、EF、GHB. AB、EF、GH

        C. AB、CD、GHD. AB、CD、EF

        分析:根據(jù)勾股定理,可以分別求出四條線段AB、CD、EF、GH 的長度,從而把形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)的問題.再分別選取其中的3個(gè)長度,用勾股定理的逆定理來判斷它們能否構(gòu)成一個(gè)直角三角形,最終把數(shù)又轉(zhuǎn)化為形.

        解:單位正方形的邊長為1.根據(jù)勾股定理,可以得到:AB2=22+22=8,CD2=22+42=20,EF2=12+22=5,GH2=22+32=13.

        因?yàn)锳B2+EF2=8+5=13=GH2,所以AB、EF、GH這三條線段能構(gòu)成直角三角形.因此,答案選B.

        點(diǎn)撥:勾股定理及其逆定理把三角形中的“形”的特征(有直角)與三邊長“數(shù)”的關(guān)系互相轉(zhuǎn)化,是數(shù)形結(jié)合的一個(gè)典范.在近幾年各地的數(shù)學(xué)中考試題中,出現(xiàn)了大量的以網(wǎng)格圖為背景的問題.這些問題既有線段的簡單計(jì)算,也有比較復(fù)雜的圖形性質(zhì)的探究.在解決這類問題時(shí),同學(xué)們首先應(yīng)當(dāng)認(rèn)真審題,計(jì)算出每條線段的長,如有可能,把它們按由小到大的順序排列起來,以便進(jìn)行判斷.

        [四、整體的思想]

        例4如圖3,在直線l同側(cè)依次擺放著七個(gè)正方形.已知斜放置的三個(gè)正方形的面積分別是1、2、3,正放置的四個(gè)正方形的面積依次是S1、S2、S3、S4,則S1+S2+S3+S4=.

        分析:本題不可能分別求出S1、S2、S3、S4,但我們可以利用三角形全等和勾股定理的知識分別求出S1+S2、S2+S3、S3+S4,從而利用整體的思想來求出答案.

        解:根據(jù)題設(shè)條件可以證明Rt△ABC≌Rt△CDE(AAS),故AB=CD.

        因CD2+DE2=CE2,而AB2=S3,AB=CD,CE2=3,DE2=S4,故S3+S4=3.同理S1+S2=1,S2+S3=2.所以S1+S2+S3+S4=1+3=4.

        點(diǎn)撥:化零為整,化分散為集中的整體策略是數(shù)學(xué)解題的重要方法.不少數(shù)學(xué)題中,每個(gè)未知量我們不一定都能求出來,但這些未知量的和或差等我們卻可以求出.

        [五、類比的思想]

        例5如圖4,分別以Rt△ABC三邊為直徑向外作三個(gè)半圓,其面積分別用S1、S2、S3表示,則不難證明S1=S2+S3 .

        (1) 如圖5,分別以Rt△ABC三邊為邊向外作三個(gè)正方形,其面積分別用S1、S2、S3表示,那么S1、S2、S3之間有什么關(guān)系?(不必證明)

        (2) 如圖6,分別以Rt△ABC三邊為邊向外作三個(gè)等邊三角形,其面積分別用S1、S2、S3表示,請你確定S1、S2、S3之間的關(guān)系并加以證明.

        分析:(1)利用勾股定理容易得解,(2)中需要求出等邊三角形的面積,再利用勾股定理得出結(jié)論.

        解:設(shè)Rt△ABC的三邊BC、CA、AB的長分別為a、b、c,則c2=a2+b2 .

        (1)S1=S2+S3 .

        (2)顯然,由等邊三角形面積公式有S1=c2,S2=a2, S3=b2,故S2+S3=(a2+b2)=c2=S1 .

        點(diǎn)撥:本題從特殊到一般,從已知到未知,運(yùn)用類比進(jìn)行探究,其關(guān)鍵就在于理解勾股定理.當(dāng)然,后面學(xué)習(xí)了相似三角形的知識后,還可以繼續(xù)探究:分別以Rt△ABC三邊為邊向外作三個(gè)一般的相似三角形,上述結(jié)論是否還成立呢?與直角三角形相“連接”的圖形的面積間一般都存在數(shù)量關(guān)系,上面的例4也說明了這點(diǎn).

        注:“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文”。

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