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        妙用勾股定理證題

        2008-04-29 00:00:00

        勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系,把形的特征(一個角是直角)轉(zhuǎn)化成數(shù)的關(guān)系(三邊之間滿足c2=a2+b2),使數(shù)與形聯(lián)系了起來.在證題時,構(gòu)造直角三角形并運用勾股定理,可使問題化難為易.有時,這種用代數(shù)方法解幾何題的思路,要比純幾何的解法更容易把握.

        例1如圖1,AM是Rt△ABC的中線,∠C=90°,MN⊥AB于N.求證:AN2-BN2=AC2.

        證明:在Rt△AMN中,由勾股定理得AN2=AM2-MN2.在Rt△BMN中,由勾股定理得BN2=BM2-MN2.

        ∴AN2-BN2=AM2-BM2.

        又因AM是中線,MC=MB,故AM2-BM2=AM2-MC2=AC2.故AN2-BN2=AC2.

        例2如圖2,Rt△ABC中,∠BAC=90°.AD⊥BC于D.求證:AB2=BD·BC.

        證明:BD·BC=BD(BD+CD)=BD2+BD·CD=BD2+[(BD+CD)2-BD2-CD2]=BD2+(BC2-BD2-CD2)=(BD2+BC2-CD2)=[BD2+BC2-(AC2-AD2)]=(BC2-AC2+BD2+AD2)=AB2.

        總結(jié):對于求證式是一些線段平方關(guān)系的幾何題,可以借助勾股定理進行轉(zhuǎn)化和變形.例2中將乘積BD·CD轉(zhuǎn)化為“和”的形式,是重要的變形.

        注:“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文”。

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