高考代表國家考試，是國家選拔人才的重要途徑，其檢測的內(nèi)容和形式也體現(xiàn)了國家對學(xué)校教育教學(xué)工作的要求. 現(xiàn)從幾道高考概率題略談如何搞好高中概率教學(xué)，使教學(xué)為生產(chǎn)和社會生活服務(wù)，同時也適應(yīng)國家選拔人才的需要.

一#65380;引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)區(qū)分互斥事件和相互獨立事件

在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生理解互斥事件和相互獨立事件的定義，互斥事件是不可能同時發(fā)生的兩個事件，即如果事件A，B 互斥，那么A，B中有一個發(fā)生的概率P(A+B)=P(A)+P(B). 相互獨立事件是指事件A(或A，B)是否發(fā)生對事件B(或A)發(fā)生的概率沒有影響，兩個相互獨立事件同時發(fā)生的概率等于每個事件發(fā)生的概率之積，即P(A#8226;B)=P(A)#8226;P(B).

高考案例1 (2007年高考天津卷)已知甲盒內(nèi)有大小相同的1個紅球和3個黑球，乙盒中有大小相同的2個紅球和4個黑球，現(xiàn)從甲#65380;乙兩個盒內(nèi)各任取2個球.

(1) 求取出的4個球均為黑球的概率.

(2) 求取出的4個球中恰有1個紅球的概率.

(3) 設(shè)ξ為取出的4個球中紅球的個數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.

分析與解答 (1) 設(shè)“從甲盒內(nèi)取出的2個球均為黑球”為事件A ，“從乙盒中取出的2個球均為黑球”為事件B，由于事件A，B是相互獨立事件，且P(A)= = ，P(B)= = ，故取出的4個球均為黑球的概率為 P(A#8226;B)=P(A)#8226;P(B)= × = .

(2) 設(shè)“從甲盒內(nèi)取出的2個球中，1個是紅球，1個是黑球，從乙盒內(nèi)取出的2個球均為黑球”為事件C. “從甲盒內(nèi)取出的2個球均為黑球，從乙盒內(nèi)取出的2個球中，1個是紅球，1個是黑球”為事件D. 由于C，D 是互斥事件，又P(C)= #8226; = P(D)= #8226; = ，所以，取出的4個球中恰有1個紅球的概率為P(C+D)=P(C)+P(D)= + = .

(3) 由題意得，ξ可能的取值為0，1，2，3，由(1)(2)得P(ξ=0)= ，P(ξ=1)= ，又P(ξ=3)= #8226; = ，從而P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3)= ，即ξ的分布列為:

∴ξ的數(shù)學(xué)期望是Eξ=0× +1× +2× +3× = .

二#65380;引導(dǎo)學(xué)生細(xì)心理解獨立重復(fù)試驗恰有k次發(fā)生的概率

獨立重復(fù)事件是指在n次獨立重復(fù)試驗中，如果事件A在其中1次試驗中發(fā)生的概率是P，那么在n次獨立重復(fù)試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率是Pn(k)=CnkPk(1-P)n-k .

高考案例2 (2007年高考江蘇卷)某氣象站天氣預(yù)報的準(zhǔn)確率為80%. 試計算(結(jié)果保留到小數(shù)點后第二位):

(1) 5次預(yù)報中恰有2次準(zhǔn)確的概率;

(2) 5次預(yù)報中至少有2次準(zhǔn)確的概率;

(3) 5次預(yù)報中恰有2次準(zhǔn)確，且其中第3次預(yù)報準(zhǔn)確的概率.

分析與解答 上述問題通過分析是典型的獨立重復(fù)試驗的概率類型，所以(1)5次預(yù)報中恰有2次準(zhǔn)確的概率為:

P5(2)= C × 0.82 × (1-0.8)5-2 = 10 × 0.82 × 0.23 ≈ 0.05.

(2) 5次預(yù)報中至少有2次準(zhǔn)確的概率為:

1-P5(0)-P5(1)=1-C×0.80×(1-0.8)5-0-C×0.81×(1-0.8)5-1 = 1 - 0.00032 - 0.0064 ≈ 0.99.

(3) 5次預(yù)報中恰有2次準(zhǔn)確，且其中第3次預(yù)報準(zhǔn)確的概率為:

0.8×C×0.8×(1-0.8)4-1=4×0.82×0.23≈0.02.

三#65380;注意理解對立事件的條件，準(zhǔn)確解答對立事件的概率

對立事件是指事件A與 中必有一個發(fā)生，這種其中必有一個發(fā)生的互斥事件叫做對立事件，兩個對立事件的概率之和等于1，所以P(A)=1-P(A).

高考案例3 (2007年高考四川卷)廠家在產(chǎn)品出廠前需對產(chǎn)品做檢驗，廠家將一批產(chǎn)品發(fā)給商家時，商家按合同規(guī)定也需隨機抽取一定數(shù)量的產(chǎn)品做檢驗，以決定是否接收這批產(chǎn)品.

(1) 若廠家?guī)旆恐械拿考a(chǎn)品合格的概率為0.8，其中任取出4件進(jìn)行檢驗，求至少有1件合格的概率.

(2) 若廠家發(fā)給商家20件產(chǎn)品，其中有3件不合格，按合同規(guī)定該商家從中任取2件都進(jìn)行檢驗，只有2件都合格時才接收這批產(chǎn)品，求該商家可能檢驗出不合格產(chǎn)品數(shù)ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ，并求該商家拒收這批產(chǎn)品的概率.

分析解答 (1) 設(shè)“廠家任取4件產(chǎn)品檢驗，其中至少有1件是合格品”為事件A，此時符合對立事件的條件，用對立事件 來解答，則有P(A)=1-P(A)=1-(0.2)4=0.9984.

(2) ξ可能的取值為0，1，2，又P(ξ=0)= = ， P(ξ=1)= = ，P(ξ=2)= = ，因而ξ的分布列為:

∴ Eξ=0× +1× +2× = = .

記商家任取2件產(chǎn)品檢驗，都合格為事件B，則商家拒收這批產(chǎn)品的概率為P=1-P(B)=1- = ，所以商家拒收這批產(chǎn)品的概率為 .

四#65380;理解相互獨立事件同時發(fā)生的概率，認(rèn)識概率的二項分布，準(zhǔn)確運用Pn(k)公式解決實際問題

高考案例4 (2006年高考湖南卷)某安全生產(chǎn)監(jiān)督部門對5家小型煤礦進(jìn)行安全檢查(簡稱安檢)，若安檢不合格，則必須整改;若整改后仍不合格則強行關(guān)閉.設(shè)每家煤礦安檢是否合格是相互獨立的，且每家煤礦整改前安檢合格的概率為0.5，整改后安檢合格的概率是0.8，計算(結(jié)果精確到0.01):

(1) 恰好有兩家煤礦必須整改的概率;

(2) 平均有多少家煤礦必須整改;

(3) 至少關(guān)閉一家煤礦的概率.

分析與解答 (1)由題意，每家煤礦必須整改的概率為(1-0.5)，且每家煤礦是否整改是相互獨立的，所以恰有兩家煤礦必須整改的概率是P1=C(1-0.5)2×0.53≈0.31.

(2) 某煤礦被關(guān)閉，即該煤礦第一次安檢不合格，整改后經(jīng)復(fù)查仍不合格，所以該煤礦被關(guān)閉的概率是P2=(1-0.5)×(1-0.8)=0.1，從而該煤礦不被關(guān)閉的概率是1-0.1=0.9.

(3) 由題設(shè)和(2)可知，每家煤礦不被關(guān)閉的概率是0.9，且每家煤礦是否關(guān)閉是相互獨立的，所以至少關(guān)閉一家煤礦的概率是P3=1-0.95=0.41.

五#65380;仔細(xì)分析理解概率之間的聯(lián)系及概率分布，會求數(shù)學(xué)期望

高考案例5 (2006年高考全國卷) A，B是治療同一種疾病的兩種藥，用若干試驗組進(jìn)行對比實驗，每個實驗組由4只白鼠組成，其中2只服用A，另2只服用B，然后觀察療效，若在一個試驗組中服用A有效的小白鼠的只數(shù)比服用B有效的多，就稱該試驗為甲類組，設(shè)每只小白鼠服用A有效的概率為 ，服用B有效的概率為 .

(1) 求一個試驗組為甲類組的概率.

(2) 觀察3個試驗組，用ξ表示這3個試驗組的個數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.

解析 (1) 設(shè)Ai表示事件“一個試驗組中服用A有效的小白鼠有i只， i=0，1，2”， Bi表示事件“一個試驗組中，服用B有效的小白鼠有i只，i=0，1，2”，依題意有 P(A1)=2× × = ，P(A2)= × = ，P(B0)= × = ，P(B1)=2× × = .

故所求的概率為P=P(B0A1)+P(B0A2)+P(B1A2)= × + × + × = .

(2) ξ的可能值為0，1，2，3，且ξ~B3，，又

P(ξ=0)= 3= ，P(ξ=1)=C× × 2= ，

數(shù)學(xué)期望Eξ=0× +1× +2× +3× = .

總之，對于高中數(shù)學(xué)概率教學(xué)，我們必須把握好課程標(biāo)準(zhǔn)，理解滲透，夯實提高. 既能靈活運用所學(xué)概率知識解決實際問題，又能適應(yīng)高考選拔人才的需要.

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文#65377;”